Question

求一实数p，使用三次方程5x³-5（p+1）x²+（71p-1）x+1=66p的三个根均为自然数．

Answer 1

分析：观察可知1是方程的解，方程可转化为（x-1）（5x²-5px+66p-1）=0，继而求一切实数p使方程5x²-5px+66p-1=0的解为自然数，然后根据韦达定理知：p为方程两根之和，即p是自然数，进而解得p的值．

解答：解：观察可知，1是方程的解，方程可转化为
（x-1）（5x²-5px+66p-1）=0，
问题转化为：求一切实数p使方程
5x²-5px+66p-1=0的解为自然数．
由韦达定理知，p为方程两根之和，即p是自然数．
△=（5p-132）²-17404．
设（5p-132）²-17404=n²（n＞0，n为自然数）．
移项分解可得（5p-132+n）（5p-132-n）
=2²×19×229．
又（5p-132+n），（5p-132-n）同奇偶，
所以

5p-132+n=2×229 5p-132-n=2×19.

，
解得p=76．
故答案为：76．

点评：本题主要考查一元二次方程的整数根与有理根的知识点，解答本题的关键观察出1是方程的根和熟练运用韦达定理的知识点，本题难度较大．