Question

如图，在△ABC中，正方形EFGH内接于△ABC，点E、F在边AB上，点G、H分别在BC、AC上，且EF²=AE•FB．
（1）求证：∠C=90°；
（2）求证：AH•CG=AE•FB．

Answer 1

证明：（1）∵四边形EFGH是正方形，
∴EF=FG=GH=HE，∠AEH=∠GFB=90°
∵EF²=AE•FB∴
∴△AEH∽△GFB
∴∠A=∠FGB
∵∠B+∠FGB=90°
∴∠B+∠A=90°
∵∠C+∠B+∠A=180°
∴∠C=90°

（2）∵GH∥AB
∴∠CHG=∠A
又（1）可得：∠C=∠AEH=90°
∴△AEH∽△HCG
∴
∵EF=GH=HE
∴EF²=AH•CG
又EF²=AE•FB
∴AH•CG=AE•FB
分析：（1）根据题意，易证△AEH∽△GFB，可得∠A=∠FGB，利用等角的余角相等，即可得出∠B+∠A=90°，又根据平角等于180°，即∠C+∠B+∠A=180°，即证∠C=90°．
（2）根据平行关系，易得△AEH∽△HCG，即有，结合已知条件，EF=GH=HE，即有EF²=AH•CG，又EF²=AE•FB
即证AH•CG=AE•FB．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定及性质的应用和正方形的性质，属于几何综合题，具有一定的综合性．