Question

已知抛物线y=ax²+bx-4的图象与x相交于A、B（点A在B的左边），与y轴相交于C，抛物线过点A（-1，0）且OB=OC．P是线段BC上的一个动点，过P作直线PE⊥x轴于E，交抛物线于F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若△BPE与△BPF的两面积之比为2：3时，求E点的坐标；
（3）设OE=t，△CPE的面积为S，试求出S与t的函数关系式；当t为何值时，S有最大值，并求出最大值；
（4）在（3）中，当S取得最大值时，在抛物线上求点Q，使得△QEC是以EC为底边的等腰三角形，求Q的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的解析式，易得C点的坐标，而OB=OC，即可得到点B的坐标，然后将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得该抛物线的解析式．
（2）易求得直线BC的解析式，设出点E的横坐标，根据抛物线和直线BC的解析式，即可表示出点P、F的纵坐标，从而得到PE、FP的长，由于△PBE、△PBF等高，那么它们的面积比等于底边的比，然后分：①PE：PF=2：3，②PE：PF=3：2，两种情况进行讨论即可．
（3）若OE=t，则E（t，0），同（2）可求得PE的长，以PE为底、OE长为高即可得到△CPE的面积，从而得到关于△CPE的面积和t的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得△CPE的面积最大值及对应的t的值．
（4）设CE的中点为M，若△QEC以EC为底，那么Q必为线段EC的垂直平分线QM与抛物线的交点，由于直线QM与直线CE互相垂直，它们斜率的乘积为-1，结合点M的坐标，即可得到直线QM的长，联立抛物线的解析式，可求得Q点的坐标．

解答：解：（1）易知：C（0，-4），即OC=4；
故OB=OC=4，B（4，0）；
将A（-1，0），B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：

a-b-4=0 16a+4b-4=0

，
解得

a=1 b=-3

；
故抛物线的解析式为：y=x²-3x-4．

（2）设E（x，0）（0＜x＜4），易知直线BC：y=x-4，则P（x，x-4），F（x，x²-3x-4）；
故PE=4-x，PF=（x-4）-（x²-3x-4）=-x²+4x；
①若S_△PBE：S_△PBF=2：3，
则PE：PF=2：3，
即：

4-x

-x2+4x

=

2

3

，
解得x=

3

2

，x=4（舍去），
②若S_△PBE：S_△PBF=3：2，则PE：PF=3：2，
即：

4-x

-x2+4x

=

3

2

，
解得x=

2

3

；x=4（舍去）
综上所述，E点的坐标为：E（

3

2

，0）或（

2

3

，0）．

（3）若OE=t，则（t，0）；
由（2）知：PE=4-t，则有：
S_△CPE=-

1

2

t2+2t（0≤t≤4）；
当t=2时，S取得最大值，最大值为2．

（4）设线段CE的中点为M，即M（1，-2）；
若△QCE是以EC为底边的等腰三角形，那么点Q必为线段CE的垂直平分线与抛物线的交点；
由于E（2，0）、C（0，4），
易知直线EC：y=2x-4；
所以设：直线QM：y=-

1

2

x+h，
代入M点坐标得：-

1

2

+h=-2，
即h=-

3

2

；
故直线QM：y=-

1

2

x-

3

2

，联立抛物线的解析式可得：

y=x2-3x-4 y=- 1 2 x- 3 2

，
解得

x= 5+ 65 4 y= -17- 65 8

，

x= 5- 65 4 y= -17+ 65 8

；
故Q₁（

5+ 65

4

，

-17- 65

8

），Q₂（

5- 65

4

，

-17+ 65

8

）．

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、二次函数的应用、等腰三角形的判定和性质、函数图象交点坐标的求法等重要知识点，难度适中．