Question

在平面直角坐标系中，正方形OABC的点A（2，0），O（0，0），C（0，2），现将此正方形绕O逆时针旋转45°，得到正方形OA₁B₁C₁，求正方形OA₁B₁C₁各顶点的坐标．

Answer 1

考点：坐标与图形变化-旋转

专题：计算题

分析：作A₁D⊥x轴于D，C₁E⊥x轴于E，如图，根据正方形的性质得OB=2

2

，∠BOA=∠BOC=45°，再根据旋转的性质得点B₁在y轴上，OB₁=OB=2

2

，∠A₁OD=45°，∠B₁OC₁=45°，OA₁=OA=OC₁=2，则可判断△A₁OD和△EOC₁都是等腰直角三角形，于是可根据等腰直角三角形的性质得到A₁D=OD=

2

2

OA₁=

2

，C₁E=OE=

2

2

OC₁=

2

，然后根据各象限点的坐标特征和y轴上点的坐标特征写出正方形OA₁B₁C₁各顶点的坐标．

解答：解：作A₁D⊥x轴于D，C₁E⊥x轴于E，如图，
∵正方形OABC的点A（2，0），O（0，0），C（0，2），
∴OB=2

2

，∠BOA=∠BOC=45°，
∴正方形OABC绕O逆时针旋转45°，得到正方形OA₁B₁C₁，
∴点B₁在y轴上，OB₁=OB=2

2

，∠A₁OD=45°，∠B₁OC₁=45°，OA₁=OA=OC₁=2，
∴△A₁OD和△EOC₁都是等腰直角三角形，
∴A₁D=OD=

2

2

OA₁=

2

，C₁E=OE=

2

2

OC₁=

2

，
∴A₁（

2

，

2

），B₁（0，2

2

），C₁（-

2

，

2

），O（0，0）．

点评：本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．