Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B的坐标为（60，0），OA=AB，∠OAB=90°，OC=50．点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O、B重合），过点P与y轴平行的直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R，设点P横坐标为t，线段QR的长度为m．已知t=40时，直线l恰好经过点C．

（1）求点A和点C的坐标；
（2）当0＜t＜30时，求m关于t的函数关系式；
（3）当m=35时，请直接写出t的值；
（4）直线l上有一点M，当∠PMB+∠POC=90°，且△PMB的周长为60时，请直接写出满足条件的点M的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1，过点A作AD⊥OB，垂足为D，过点C作CE⊥OB，垂足为E，

∵OA=AB，

∴OD=DB=OB，

∵∠OAB=90°，

∴AD=OB，

∵点B的坐标为：（60，0），

∴OB=60，

∴OD=OB=×60=30，

∴点A的坐标为：（30，30），

∵直线l平行于y轴且当t=40时，直线l恰好过点C，

∴OE=40，

在Rt△OCE中，OC=50，

由勾股定理得：

CE===30，

∴点C的坐标为：（40，﹣30）；

（2）

解：如图2，

∵∠OAB=90°，OA=AB，

∴∠AOB=45°，

∵直线l平行于y轴，

∴∠OPQ=90°，

∴∠OQP=45°，

∴OP=QP，

∵点P的横坐标为t，

∴OP=QP=t，

在Rt△OCE中，

OE=40，CE=30，

∴tan∠EOC=，

∴tan∠POR==，

∴PR=OPtan∠POR=t，

∴QR=QP+PR=t+t=t，

∴当0＜t＜30时，m关于t的函数关系式为：m=t；

（3）

解：由（2）得：当0＜t＜30时，m=35=t，解得：t=20；

如图3，

当30≤t≤40时，m=35显然不可能；

当40＜t＜60时，∵OP=t，则BP=QP=60﹣t，

∵PR∥CE，

∴△BPR∽△BEC，

∴=，

∴=，

解得：PR=90﹣t，

则m=60﹣t+90﹣t=35，

解得：t=46，

综上所述：t的值为20或46；

（4）

解：如图4，

当∠PMB+∠POC=90°且△PMB的周长为60时，此时t=40，直线l恰好经过点C，

则∠MBP=∠COP，

故此时△BMP∽△OCP，

则=，

即=，

解得：x=15，

故M1（40，15），同理可得：M2（40，﹣15），

综上所述：符合题意的点的坐标为：M1（40，15），M2（40，﹣15）．

【解析】（1）利用等腰三角形的性质以及勾股定理结合B点坐标得出A，C点坐标；
（2）利用锐角三角函数关系结合（1）中所求得出PR，QP的长，进而求出即可；
（3）利用（2）中所求，利用当0＜t＜30时，当30≤t≤60时，分别利用m与t的关系式求出即可；
（4）利用相似三角形的性质，得出M点坐标即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解相似三角形的判定与性质(相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方)．