Question

已知抛物线C₁：y=x²-2x的图象如图所示，把C₁的图象沿y轴翻折，得到抛物线C₂的图象，抛物线C₁与抛物线C₂的图象合称图象C₃．
（1）求抛物线C₁的顶点A坐标，并画出抛物线C₂的图象；
（2）若直线y=kx+b与抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）有且只有一个交点时，称直线与抛物线相切．若直线y=x+b与抛物线C₁相切，求b的值；
（3）结合图象回答，当直线y=x+b与图象C₃有两个交点时，b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）用配方法将C₁化为顶点坐标式，即可得到它的顶点坐标；由于C₂、C₁关于y轴对称，那么C₂、C₁的开口方向和开口大小都相同，而它们的顶点坐标也关于y轴对称，可据此画出C₂的图象．
（2）联立直线y=x+b和抛物线C₁的解析式，消去y后可得到关于x的一元二次方程，若两函数图象只有一个交点，那么方程的判别式△=0，由此求得b的值①．
（3）可参照（2）的解法求出当直线y=x+b与C₂相切时b的值②，若此直线与C₃有两个交点，那么b的取值范围必在①②的范围之内，由此得解．

解答：解：（1）∵抛物线C₁：y=x²-2x=（x-1）²-1；
∴顶点坐标A（1，-1）．（1分）
图如右图；（2分）

（2）

y=x+b(1) y=x2-2x(2)

把（1）式代入（2）
整理得：x²-3x-b=0；
△=9+4b=0，b=-

9

4

．（4分）

（3）∵C₁的图象沿y轴翻折，得到抛物线C₂的图象，
∴由题意可得出：抛物线C₂：y=x²+2x，
∴

y=x+b(1) y=x2+2x(2)

把（1）式代入（2）
整理得：x²+x-b=0；
△=1+4b=0，b=-

1

4

．（6分）
∴当直线y=x+b与图象C₃有两个交点时，b的取值范围为：-

9

4

＜b＜-

1

4

．（7分）

点评：此题主要考查函数图象的几何变换、函数图象交点坐标的求法、根的判别式等知识，难度适中．