Question

15．平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：①AC平分∠BCD，②AC⊥BD，③OA=OC，④OB=OC，⑤∠BAD+∠BCD=180°，⑥AB=BC．从中任选两个条件，能使平行四边形ABCD为正方形的选法有
（　　）

• A． 3种
• B． 6种
• C． 7种
• D． 8种

Answer 1

分析 根据有一个角是直角的菱形是正方形，邻边相等的矩形是正方形，即可解答．

解答 解：能使平行四边形ABCD为正方形的选法有：
（1）⑤⑥，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD，
∵∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD是正方形．
（2）②⑤，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD，
∵∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是正方形．
（3）①⑤，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD，
∵∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AC平分∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD，
∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC，
∴∠ACB=∠BAC，
∴AB=BC，
∴四边形ABCD是正方形．
（4）②④，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∴OB=OC，
∴OA=OB=OC=OD，
∴AC⊥BD
∴四边形ABCD是正方形．
（5）①④，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD，
∵∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∴OB=OC，
∴OA=OB=OC=OD，
∴四边形ABCD是正方形．
（6）④⑥，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∴OB=OC，
∴OA=OB=OC=OD，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD是正方形．
共6种，
故选：B．

点评 本题考查了正方形的判定定理，解决本题的关键是熟记有一个角是直角的菱形是正方形，邻边相等的矩形是正方形．