Question

4．已知：如图所示，动点P在函数y=$\frac{1}{2x}$（x＞0）的图象上运动，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB：y=-x+1交于点E、F．
（1）求AF•BE的值．
（2）求AF²+BE²的最值．
（3）求证∠EOF=45°．

Answer 1

分析 （1）可设P的坐标为（a，$\frac{1}{2a}$），且PN⊥OB，PM⊥OA，那么N的坐标和M点的坐标都可以a表示，那么BN、NF、BN的长度也可以用a表示，接着F点、E点的也可以a表示，然后利用勾股定理可以分别用a表示AF，BE，最后即可求出AF•BE；
（2）利用（1）中的结论，结合完全平方公式，可求得答案；
（3）利用（1）中的结论，可证得△BOE∽△AFO，再利用平行线的性质，结合条件可证得结论．

解答 解：
（1）作FG⊥x轴，如图1，

∵P的坐标为（a，$\frac{1}{2a}$），且PN⊥OB，PM⊥OA，
∴N的坐标为（0，$\frac{1}{2a}$），M点的坐标为（a，0），
∴BN=1-$\frac{1}{2a}$，
在直角三角形BNF中，∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形），
∴NF=BN=1-$\frac{1}{2a}$，
∴F点的坐标为（1-$\frac{1}{2a}$，$\frac{1}{2a}$），
同理可得出E点的坐标为（a，1-a），
∴AF²=（1-1+$\frac{1}{2a}$）²+（$\frac{1}{2a}$）²=$\frac{1}{2{a}^{2}}$，BE²=（a）²+（-a）²=2a²，
∴AF²•BE²=$\frac{1}{2{a}^{2}}$•2a²=1，即AF•BE=1；
（2）由（1）可知AF²+BE²=$\frac{1}{2{a}^{2}}$+2a²，
∵（$\frac{1}{\sqrt{2}a}$-$\sqrt{2}$a）²≥0，
∴$\frac{1}{2{a}^{2}}$+2a²≥2$\sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}a}•\sqrt{2}a}$，即$\frac{1}{2{a}^{2}}$+2a²≥2，
∴AF²+BE²≥2，
∴AF²+BE²的最小值为2；
（3）由（1）可知OB=OA=1，
∴OA•OB=AF•BE，
∴$\frac{OB}{AF}$=$\frac{BE}{AO}$，且∠OAB=∠OBA=45°，
∴△BOE∽△AFO，
∴∠AOF=∠BEO，
如图2，过E作EH∥x轴，交y轴于点H，

则∠HEO=∠EOA，∠FEH=∠FAO=45°，
∵∠FOA=∠EOF+∠EOA，
∴∠EOF+∠EOA=∠HEO+∠FEH，
∴∠EOF=∠FEH=45°．

点评 本题综合考查了反比例函数、一次函数、矩形等多个知识点．在（1）中用P点坐标分别表示出BE和AF是解题的关键，在（2）中注意完全平方公式的灵活运用，在（3）中证得∠AOF=∠BEO是解题的关键．本题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．