Question

18．已知抛物线y=x²+bx+c与y轴交于点Q（0，-3），与x轴交于A、B两点，顶点为P，且△PAB的面积等于8，求函数解析式及对称轴．

Answer 1

分析 由抛物线与y轴的交点为（0，-3）即可得出c的值，当y=0时，利用跟与系数的关系找出x_A+x_B=-b、x_A•x_B=-3，再利用配方法找出抛物线的顶点坐标，结合三角形的面积公式以及△PAB的面积等于8即可得出关于b的方程，解方程求出b值，将其代入抛物线解析式中即可得出结论．

解答 解：当x=0时，y=c=-3，
∴抛物线解析式为y=x²+bx-3．
当y=0时，有x²+bx-3=0，
∴x_A+x_B=-b，x_A•x_B=-3．
∵抛物线解析式为y=x²+bx-3=$（x+\frac{b}{2}）^{2}$-$\frac{{b}^{2}}{4}$-3，
∴顶点P的坐标为（-$\frac{b}{2}$，-$\frac{{b}^{2}}{4}$-3）．
S_△PAB=$\frac{1}{2}$|x_A-x_B|•（$\frac{{b}^{2}}{4}$+3）=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{（{x}_{A}+{x}_{B}）^{2}-4{x}_{A}•{x}_{B}}$•（$\frac{{b}^{2}}{4}$+3）=8，
整理得：$（\sqrt{{b}^{2}+12}）^{3}$=64，
解得：b=±2．
∴当抛物线的解析式为y=x²+2x-3时，对称轴为x=-1，当抛物线的解析式为y=x²-2x-3时，对称轴为x=1．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点、根与系数的关系以及解无理方程，解题的关键是找出关于b的方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用根与系数的关系找出抛物线与x轴两交点横坐标之和与之积是关键．