Question

如图1，点O是边长为1的等边△ABC内的任一点，设∠AOB=α°，∠BOC=β°

（1）将△BOC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△ADC，连结OD，如图2所示．求证：OD=OC．
（2）在（1）的基础上，将△ABC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△EAC，连结DE，如图3所示．求证：OA=DE
（3）在（2）的基础上，当α、β满足什么关系时，点B、O、D、E在同一直线上．并直接写出AO+BO+CO的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据旋转的性质就可以得出∠DOC=60°，OC=CD，进一步可以得出△DCO为等边三角形，即可以得出结论；
（2）根据旋转的性质就可以得出△ADC≌△BOC，△EAC≌△ABC，再由全等的性质可以得出△EAD≌△ABO，从而就可以得出结论；
（3）根据旋转的性质就可以得出△ADC≌△BOC，△EAD≌△ABO，就可以得出∠α=∠β=120°，再利用勾股定理就可以求出结论．

解答：解：（1）∵△BOC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴CO=CD，∠DOC=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴DO=CO；
（2）∵△BOC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△EDC，△ABC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△EAC，
∴△ADC≌△BOC，△EAC≌△ABC，
∴AD=BO，∠DAC=∠OBC，EA=AB，∠EAC=∠ABC，
∴∠EAC-∠DAC=∠ABC-∠OBC，
即∠DAE=∠OBA，
在△EAD和△ABO中，

AD=BO ∠DAE=∠OBA AE=BA

，
∴△EAD≌△ABO，
∴OA=DE；
（3）∵△ABC绕点C沿顺时针方向旋转60°得△EAC，
∴AB=BC=CE=AE，
∴四边形ABCE是菱形．
∵B、O、D、E在同一直线上，
∴B、O、D、E是菱形ABCE的对角线，
∴∠ABO=30°．
∵△ADC≌△BOC，△EAC≌△ABC，
∴∠ADC=∠BOC=β，∠ADE=∠AOB=α，
∴∠CDE=360°-α-β．
∵△COD是正三角形，
∴∠COD=∠CDO=60°．
∵点B、O、D、E在同一直线上，
∴∠BOC=∠CDE=120°，
∴∠ADC=120°，
∴∠ADE=120°，
∴α=β=120°．
∴∠BAO=30°．
∴∠BAO=∠ABO，
∴AO=BO，
同理可得：AO=CO．
∴AO=BO=CO．
作OF⊥AB于F，设BF=a，则BO=2a，
∴∠BFO=90°，BF=

1

2

AB=

1

2

，
在Rt△BOF中，由勾股定理，得
a=

3

6

，
∴BO=

3

3

，
∴AO+BO+CO=

3

，
即AO+BO+CO的最小值为

3

．

点评：本题考查了等边三角形的性质的运用，旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，解答时灵活运用等边三角形的性质和证明三角形全等是解答本题的关键．