【题目】如图,在平行四边形ABCD中,AB=2,∠ABC=45°,点E为射线AD上一动点,连接BE,将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF,连接AF,则AF的最小值是_____.
【答案】
【解析】
如图,以AB为边向下作等边△ABK,连接EK,在EK上取一点T,使得AT=TK.再证明△ABF≌△KBE,可得AF=EK;然后根据垂线段最短可知,当KE⊥AD时,KE的值最小,最后解直角三角形求出EK即可.
解:如图,以AB为边向下作等边△ABK,连接EK,在EK上取一点T,使得AT=TK.
∵BE=BF,BK=BA,∠EBF=∠ABK=60°,
∴∠ABF=∠KBE,
∴△ABF≌△KBE(SAS),
∴AF=EK,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∵∠ABC=45°,
∴∠BAD=180°﹣∠ABC=135°,
∵∠BAK=60°,
∴∠EAK=75°,
∵∠AEK=90°,
∴∠AKE=15°,
∵TA=TK,
∴∠TAK=∠AKT=15°,
∴∠ATE=∠TAK+∠AKT=30°,
设AE=a,则AT=TK=2a,ET=a,
在Rt△AEK中,
∵AK2=AE2+EK2,
∴a2+(2a+a)2=2,
∴a=,
∴EK=2a+a=,
∴AF的最小值为.
故答案为.
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【题目】如图,四边形ABCD内接于⊙O,BD是⊙O的直径,AE⊥CD交CD的延长线于点E,DA平分∠BDE.
⑴求证:AE是⊙O的切线;
⑵若AE=4cm,CD=6cm,求AD的长.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴交于A,B两点,顶点P(m,n).给出下列结论:①2a+c<0;②若(﹣,y1),(﹣,y2),(,y3)在抛物线上,则y1>y2>y3;③关于x的方程ax2+bx+k=0有实数解,则k>c﹣n;④当n=﹣时,△ABP为等腰直角三角形.其中正确结论是______(填写序号).
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【题目】如图,为加快5G网络建设,某通信公司在一个坡度i=1:2.4的山坡AB上建了一座信号塔CD,信号塔底端C到山脚A的距离AC=13米,在距山脚A水平距离18米的E处,有一高度为10米的建筑物EF,在建筑物顶端F处测得信号塔顶端D的仰角为37°(信号塔及山坡的剖面和建筑物的剖面在同一平面上),则信号塔CD的高度约是( )(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
A.22.5米B.27.5米C.32.5米D.45.0米
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【题目】对任意一个两位数m,如果m等于两个正整数的平方和,那么称这个两位数m为“平方和数”,若m=a2+b2(a、b为正整数),记A(m)=ab.例如:29=22+52,29就是一个“平方和数”,则A(29)=2×5=10.
(1)判断25是否是“平方和数”,若是,请计算A(25)的值;若不是,请说明理由;
(2)若k是一个“平方和数”,且A(k)=,求k的值.
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【题目】某学校为了了解九年级学生上学期间平均每天的睡眠情况,现从全校名九年级学生中随机抽取了部分学生,调查了这些同学上学期间平均每天的睡眠时间(单位:小时),并根据调查结果列出统计表,绘制成扇形统计图,如图所示.请你根据图表提供的信息解答下列问题:
平均每天睡眠时间分组统计表
组别序号 | 睡眠时间(小时) | 人数(频数) |
组 | ||
组 | ||
组 | ||
组 |
平均每天睡眠时间扇形统计表
(1)_______,_______,_______(为百分号前的数字);
(2)随机抽取的这部分学生平均每天睡眠时间的中位数落在_______组(填组别序号);
(3)估计全校名九年级学生中平均每天睡眠时间不低于小时的学生有_______名;
(4)若所抽查的睡眠时间(小时)的名学生,其中名男生和名女生,现从这名学生中随机选取名学生参加个别访谈,请用列表或画树状图的方法求选取的名学生恰为男女的概率.
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【题目】如图,为了解学生的课余生活情况,某中学在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查. 问卷中请学生选择最喜欢的课余生活种类(每人只选一类),选项有音乐类、美术类、体育类及其他共四类,调查后将数据绘制成扇形统计图和条形统计图(如图所示).
(1)参与此次问卷调查学生共多少人?
(2)请根据所给的扇形图和条形图,填写出扇形图中缺失的数据,并把条形图补充完整;
(3)在问卷调查中,小张和小王分别选择了音乐类和美术类,老师要从选择音乐类和美术类的学生中分别抽取一名学生参加活动,设选择音乐类的四个学生为张、A1、A2、A3,选择美术类3个学生为王、B1、B2,用列表或画树状图的方法求小张和小王恰好都被选中的概率;
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