Question

（2012•上城区二模）如图，⊙O的半径OD经过弦AB（不是直径）的中点C，OE∥AB交⊙O于点E，PE∥OD，延长直径AG，交PE于点H，直线DG交OE于点F，交PE于K．若EF=2，FO=1，则KH的长度等于

2

．

Answer 1

分析：根据△OFD∽△EFK，可将KE的长求出，由OG=OD，可知∠OGD=∠ODG，根据PE∥OD，可知∠K=∠ODG，因为对顶角∠OGD=∠HGK，可得∠K=∠HGK，故HK=HG，进而利用勾股定理得出即可．

解答：解：∵EF=2，OF=1，
∴EO=DO=3，
∵PE∥OD，
∴∠KEO=∠DOE，∠K=∠ODG，
∴△OFD∽△EFK，
∴EF：OF=KE：OD=2：1
∴KE=6，
∵AC=BC，AB不是直径，
∴OD⊥AB，∠PCO=90°，
∵PE∥OD，
∴∠P=90°，
∵EO∥AB，
∴∠PEO=90°，
∵OG=OD，
∴∠OGD=∠ODG，
∵PE∥OD，
∴∠K=∠ODG，
∵∠OGD=∠HGK，
∴∠K=∠HGK，
∴HK=HG，
设KH=HG=x，
则HE=6-x，HO=3+x，EO=3，
则EO²+HE²=HO²，
即3²+（6-x）²=（3+x）²，
解得：x=2，
故KH的长度等于2，
故答案为：2．

点评：本题考查了三角形相似的判定和应用以及垂径定理、勾股定理等知识应用，根据已知利用三角形相似得出KE长度，进而得出HK=HG是解题关键．