Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点O是边AC的中点．

（1）在图1中，将△ABC绕点O逆时针旋转n°得到△A1B1C1，使边A1B1经过点C．求n的值．

（2）将图1向右平移到图2位置，在图2中，连结AA1、AC1、CC1．求证：四边形AA1CC1是矩形；

（3）在图3中，将△ABC绕点O顺时针旋转m°得到△A2B2C2，使边A2B2经过点A，连结AC2、A2C、CC2．

①请你直接写出m的值和四边形AA2CC2的形状；

②若AB＝，请直接写出AA2的长．

Answer 1

【答案】（1）n＝60°；（2）见解析；（3）①m＝120°，四边形AA2CC2是矩形；②AA2＝3．

【解析】

（1）利用等腰三角形的性质求出∠COC1即可．（2）根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可．（3）①求出∠COC2即可，根据矩形的判定证明即可解决问题．②解直角三角形求出A2C2，再求出AA2即可．

（1）解：如图1中，

由旋转可知：△A1B1C1≌△ABC，

∴∠A1＝∠A＝30°，

∵OC＝OA，OA1＝OA，

∴OC＝OA1，

∴∠OCA1＝∠A1＝30°，

∴∠COC1＝∠A1+OCA1＝60°，

∴n＝60°．

（2）证明：如图2中，

∵OC＝OA，OA1＝OC1，

∴四边形AA1CC1是平行四边形，

∵OA＝OA1，OC＝OC1，

∴AC＝A1C1，

∴四边形AA1CC1是矩形．

（3）如图3中，

①∵OA＝OA2，

∴∠OAA2＝∠OA2A＝30°，

∴∠COC2＝∠AOA2＝180°﹣30°﹣30°＝120°，

∴m＝120°，

∵OC＝OA，OA2＝OC2，

∴四边形AA2CC2是平行四边形，

∵OA＝OA2，OC＝OC2，

∴AC＝A2C2，

∴四边形AA2CC2是矩形．

②∵AC＝A2C2＝ABcos30°＝4×＝6，

∴AA2＝A2C2cos30°＝6×＝3．