Question

【题目】基本图形：在Rt△中，，为边上一点（不与点，重合），将线段绕点逆时针旋转得到.

探索：（1）连接，如图①，试探索线段之间满足的等量关系，并证明结论；

（2）连接，如图②，试探索线段之间满足的等量关系，并证明结论；

联想：（3）如图③，在四边形中，．若，，则的长为 .

Answer 1

【答案】（1）BC=DC+EC（2）BD2+CD2=DE2（3）2

【解析】

(1)根据已知条件和全等三角形的判定定理，得出△BAD≌△CAE；

(2)连接CE，由(1)得到△BAD≌△CAE，从而得到∠DCE=90°，根据勾股定理得到等量关系；

(3)作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，DE，先利用SAS证明△BAD≌△CAE，得到CE=3，在RT△CDE中，利用勾股定理可求出DE=，最后在RT△ADE中，利用勾股定理可求出AD=2，

解：(1)BC=DC+EC，

∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE，

在△BAD和△CAE中，

∴△BAD≌△CAE，

∴BD=CE，

∴BC=BD+CD=EC+CD，

即：BC=DC+EC；

(2)BD2+CD2=DE2，

连接CE，由(1)得，△BAD≌△CAE，

∴BD=CE，∠ACE=∠B，

∴∠DCE=90°，

∴CE2+CD2=ED2；

(3)AD=2，

作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，DE，

∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，

即∠BAD=∠CAE，

在△BAD与△CAE中，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD=CE=3，

∵∠ADC=45°，∠EDA=45°，

∴∠EDC=90°，

∴DE==，

∵∠DAE=90°，

∴，

∴AD=2.

故答案为：(1)BC=DC+EC；(2)BD2+CD2=DE2；(3)2.