Question

【题目】已知一次函数y＝﹣x+m的图象与反比例函数的图象交于A、B两（点A在点B的左侧），点P为x轴上一动点，当有且只有一个点P，使得∠APB＝90°，则m的值为_____．

Answer 1

【答案】4

【解析】

根据题意以AB为直径是圆与x轴相切于点P，根据直线的解析式即可证得△COD是等腰直角三角形，进而求得AB＝m，根据平行线分线段成比例定理求得MC＝BM＝m，即可求得B点的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出m＝2，解方程求得即可．

设直线y＝﹣x+m交x、y轴分别为C、D，

∴OD＝OC＝m，

∴△COD是等腰三角形，CD＝ m，

∴∠OCD＝45°，

∵点P为x轴上一动点，有且只有一个点P，使得∠APB＝90°，

∴以AB为直径是圆与x轴相切于点P，

设AB的中点为I，

∴IP⊥x轴，IA＝IC＝m，

∵I是CD的中点，

∴IP＝OD＝m，

∴IB＝m，

∴BC＝IC﹣IB＝m，

∵BM∥IP，

∴，即

∴BM＝m

∵△BMC是等腰直角三角形，

∴MC＝BM＝m，

∴OM＝m﹣m＝m，

∴B（，m），

∵点B在反比例函数y＝的图象上，

∴m＝2

解得m＝4或m＝﹣4（舍去），

故答案为4．