我们知道命题“在直角三角形中，如果有一个内角为30°，那么这个30°的内角所对的直角边等于斜边的一半．”是真命题．
（1）请写出上面命题的逆命题：在直角三角形中，如果

有一条直角边等于斜边的一半，

，那么

这条直角边所对的内角等于30°

．
（2）你写出的逆命题是真命题吗？如果是，请写出证明过程，如若不是，请举出反例．（书写证明过程前，要结合图形写出已知、求证；若是举反例，也要结合反例图作出说明）

分析：（1）把原命题的题设与结论互换即可得到它的逆命题；
（2）先写出已知、求证，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证明逆命题是真命题．

解答：解：（1）原命题的逆命题为：在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的内角等于30°；
故答案为有一条直角边等于斜边的一半，这条直角边所对的内角等于30°；

（2）逆命题是真命题．
已知：在△ABC中，∠ACB=90°，BC=

AB，如图，

求证：∠A=30°．
证明：取AB的中点D，连结DC，
则DC=DB=DA，
∵BC=

AB，
∴DB=DC=BC，
∴△BDC为等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠A=90°-60°=30°．

点评：本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．

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学习了勾股定理的逆定理，我们知道：在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形为直角三角形．类似地，我们定义：对于任意的三角形，设其三个角的度数分别为x°、y°和z°，若满足x²+y²=z²，则称这个三角形为勾股三角形．
（1）根据“勾股三角形”的定义，请你直接判断命题：“直角三角形是勾股三角形”是真命题还是假命题？
（2）已知某一勾股三角形的三个内角的度数从小到大依次为x°、y°和z°，且xy=2160，求x+y的值；
（3）如图，△ABC内接于⊙O，AB=

，AC=1+

，BC=2，⊙O的直径BE交AC于点D．
①求证：△ABC是勾股三角形；
②求DE的长．

查看答案和解析>>

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我们知道一个三角形中有三条高线和三条中线．如图1，AD和AE分别是△ABC中BC边上的高线和中线，我们规定：k_A=

BE′

，另外，对k_B、k_C作类似的规定．
（1）如图2，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则k_A的值为

，k_C的值为

；
（2）在每个小正方形边长均为1的4×4的方格纸上（如图3），画一个△ABC，使其顶点在格点（格点即每个小正方形的顶点）上，且k_A=2，面积也为2；
（3）判断下面三个命题的真假（真命题打“√”，假命题的打“×”）
①若△ABC中，k_A＜1，则△ABC为锐角三角形

；
②若△ABC中，k_A=1，则△ABC为直角三角形

√

；
③若△ABC中，k_A＞1，则△ABC为钝角三角形