Question

4．如图，抛物线与x轴交于点A（-$\frac{1}{3}$，0）、点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）点N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t（-$\frac{1}{3}$＜t＜2），求△ABN的面积S与t的函数关系式；
（3）若-$\frac{1}{3}$＜t＜2且t≠0时△OPN∽△COB，求点N的坐标．

Answer 1

分析 （1）可设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，然后只需运用待定系数法就可解决问题；
（2）当-$\frac{1}{3}$＜t＜2时，点N在x轴的上方，则NP等于点N的纵坐标，只需求出AB，就可得到S与t的函数关系式；
（3）根据相似三角形的性质可得PN=2PO．由于PO=$|\begin{array}{l}{t}\end{array}|$，需分-$\frac{1}{3}$＜t＜0和0＜t＜2两种情况讨论，由PN=2PO得到关于t的方程，解这个方程，就可解决问题．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，由题可得：
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{9}a-\frac{1}{3}b+c=0}\\{4a+2b+c=0}\\{c=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{2}}\\{b=\frac{5}{2}}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴抛物线的函数关系式为y=-$\frac{3}{2}$x²+$\frac{5}{2}$x+1；

（2）当-$\frac{1}{3}$＜t＜2时，y_N＞0，
∴NP=|y_N|=y_N=-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t+1，
∴S=$\frac{1}{2}$AB•PN
=$\frac{1}{2}$×（2+$\frac{1}{3}$）×（-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t+1）
=$\frac{7}{6}$（-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t+1）
=-$\frac{7}{4}$t²+$\frac{35}{12}$t+$\frac{7}{6}$；

（3）∵△OPN∽△COB，
∴$\frac{PO}{OC}$=$\frac{PN}{OB}$，
∴$\frac{PO}{1}$=$\frac{PN}{2}$，
∴PN=2PO．
①当-$\frac{1}{3}$＜t＜0时，PN=$|\begin{array}{l}{yN}\end{array}|$=y_N=-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t+1，PO=$|\begin{array}{l}{t}\end{array}|$=-t，
∴-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t+1=-2t，
整理得：3t²-9t-2=0，
解得：t₁=$\frac{9+\sqrt{105}}{6}$，t₂=$\frac{9-\sqrt{105}}{6}$．
∵$\frac{9+\sqrt{105}}{6}$＞0，-$\frac{1}{3}$＜$\frac{9-\sqrt{105}}{6}$＜0，
∴t=$\frac{9-\sqrt{105}}{6}$，此时点N的坐标为（$\frac{9-\sqrt{105}}{6}$，$\frac{\sqrt{105}-9}{3}$）；
②当0＜t＜2时，PN=$|\begin{array}{l}{yN}\end{array}|$=y_N=-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t+1，PO=$|\begin{array}{l}{t}\end{array}|$=t，
∴-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{5}{2}$t+1=2t，
整理得：3t²-t-2=0，
解得：t₃=-$\frac{2}{3}$，t₄=1．
∵-$\frac{2}{3}$＜0，0＜1＜2，
∴t=1，此时点N的坐标为（1，2）．
综上所述：点N的坐标为（$\frac{9-\sqrt{105}}{6}$，$\frac{\sqrt{105}-9}{3}$）或（1，2）．

点评 本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质、解一元二次方程等知识，需要注意的是：用点的坐标表示相关线段的长度时，应先用坐标的绝对值表示线段的长度，然后根据坐标的正负去绝对值；解方程后要检验，不符合条件的解要舍去．