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【题目】如图,在ABCD中,ADBC,∠A=90°BD=DCAB=6AD=8,点PQ分别为BCAD上的动点,连接PQ,与BD相交于点O

1)当∠1=2时,求证:∠DOQ=DPC

2)当(1)的条件下,求证:DQ·PC=BD·DO

3)如果点P由点B向点C移动,每秒移动2个单位,同时点Q由点D向点A移动,每秒移动1个单位,设移动的时间为t秒,是否存在某一时刻,使得△BOP为直角三角形,如果存在,请直接写出t的值;如果不存在,请说明理由.

【答案】1)见详解;(2)见详解;(3)存在;当t秒或t秒时,△BOP为直角三角形.

【解析】

1)根据相似三角形的判定定理证明△DOP∽△DPB,得到∠DOP=DPB,根据邻补角的

性质证明结论;

2)证明△DOQ∽△CPD,根据相似三角形的对应边成比例证明结论;

3)分①∠BPO=90°和②∠POB=90°两种情况,根据矩形的性质和相似三角形的性质计算即可.

1)证明:∵∠PDO=BDP,∠1=2

∴△DOP∽△DPB

∴∠DOP=DPB

∵∠DOQ+DOP=DPC+DPB=180°,

∴∠DOQ=DPC

2)证明:∵ADBC

∴∠ADO=1

BD=DC

∴∠1=C

∴∠ADO=C

又∵∠DOQ=DPC

∴△DOQ∽△CPD

BD=DC

DQPC=BDDO

3)存在,

①如图1,当∠BPO=90°时,

BP=2tDQ=t

AQ=8-t

∵此时AQ=BP

8-t=2t

t

②如图2,当∠POB=90°时,

∵△DOQ∽△BOP

AB=6AD=8

BD=10

DO=

∵△DOQ∽△DBA

t

综上所述,当t秒或t秒时,△BOP为直角三角形.

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