【题目】如图,在ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BD=DC,AB=6,AD=8,点P、Q分别为BC、AD上的动点,连接PQ,与BD相交于点O.
(1)当∠1=∠2时,求证:∠DOQ=∠DPC;
(2)当(1)的条件下,求证:DQ·PC=BD·DO;
(3)如果点P由点B向点C移动,每秒移动2个单位,同时点Q由点D向点A移动,每秒移动1个单位,设移动的时间为t秒,是否存在某一时刻,使得△BOP为直角三角形,如果存在,请直接写出t的值;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)见详解;(2)见详解;(3)存在;当t=秒或t=秒时,△BOP为直角三角形.
【解析】
(1)根据相似三角形的判定定理证明△DOP∽△DPB,得到∠DOP=∠DPB,根据邻补角的
性质证明结论;
(2)证明△DOQ∽△CPD,根据相似三角形的对应边成比例证明结论;
(3)分①∠BPO=90°和②∠POB=90°两种情况,根据矩形的性质和相似三角形的性质计算即可.
(1)证明:∵∠PDO=∠BDP,∠1=∠2,
∴△DOP∽△DPB,
∴∠DOP=∠DPB,
∵∠DOQ+∠DOP=∠DPC+∠DPB=180°,
∴∠DOQ=∠DPC;
(2)证明:∵AD∥BC,
∴∠ADO=∠1,
∵BD=DC,
∴∠1=∠C,
∴∠ADO=∠C,
又∵∠DOQ=∠DPC,
∴△DOQ∽△CPD,
∴,
∵BD=DC,
∴,
∴DQPC=BDDO;
(3)存在,
①如图1,当∠BPO=90°时,
∵BP=2t,DQ=t,
∴AQ=8-t
∵此时AQ=BP
∴8-t=2t
∴t=;
②如图2,当∠POB=90°时,
∵△DOQ∽△BOP
∴
∵AB=6,AD=8,
∴BD=10,
∴DO=
∵△DOQ∽△DBA,
∴,
∴,
∴t=.
综上所述,当t=秒或t=秒时,△BOP为直角三角形.
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【题目】如图,阳光下,小亮的身高如图中线段AB所示,他在地面上的影子如图中线段BC所示,线段DE表示旗杆的高,线段FG表示一堵高墙.
(1)请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下形成的影子,并用线段表示;
(2)如果小亮的身高AB=1.6m,他的影子BC=2.4m,旗杆的高DE=15m,旗杆与高墙的距离EG=16m,请求出旗杆的影子落在墙上的长度.
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【题目】在矩形中,,,点在边上,且.
探究:如图①,点在矩形的边上,连结,过点作,交边于点.求证:.
应用:如图②,若图①的交边于点.其它条件不变,连结,则的值为 ,若的面积是.则的长为
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A(,0),B(0,2),点C在第一象限,∠ABC=135°,AC交轴于D,CD=3AD,反比例函数的图象经过点C,则的值为_______.
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【题目】综合与探究
问题情境
在综合实践课上,老师让同学们探究“平面直角坐标系中的旋转问题”.如图,在平面直角坐标系中,四边形是矩形,点,点,点.
操作发现
以点为中心,顺时针旋转矩形,得到矩形,点,,的对应点分别为,,.
(1)如图①,当点落在边上时,求点的坐标;
继续探究
(2)如图②,当点落在线段上时,与交于点.
①求证;
②求点的坐标.
拓展探究
(3)如图①,点是轴上任意一点,点是平面内任意一点,是否存在点使以、、、为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】元旦期间,某宾馆有50个房间供游客居住,当每个房间每天的定价为180元时,房间会全部住满;当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.
(1)若房价定为200元时,求宾馆每天的利润;
(2)房价定为多少时,宾馆每天的利润最大?最大利润是多少?
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【题目】甲、乙两人用如图的两个分格均匀的转盘A、B做游戏,游戏规则如下:分别转动两个转盘,转盘停止后,指针分别指向一个数字(若指针停止在等份线上,那么重转一次,直到指针指向某一数字为止).用所指的两个数字相乘,如果积是奇数,则甲获胜;如果积是偶数,则乙获胜.请你解决下列问题:
(1)用列表格或画树状图的方法表示游戏所有可能出现的结果.
(2)求甲、乙两人获胜的概率.
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【题目】已知点(﹣1,y1)、(﹣2,y2)、(2,y3)都在二次函数y=﹣3ax2﹣6ax+12(a>0)上,则y1、y2、y3的大小关系为( )
A.y1>y3>y2B.y3>y2>y1C.y3>y1>y2D.y1>y2>y3
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