Question

如图，已知圆锥的底面圆直径AB为2r（r＞0），母线长OA为3r，C为母线OB的中点，在圆锥的侧面上，一只蚂蚁从点A爬行到点C的最短路线长为

 

．

Answer 1

考点：平面展开-最短路径问题,圆锥的计算

专题：计算题

分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．

解答：解：由题意知，底面圆的直径为2r，故底面周长等于2rπ，
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n，
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得，2rπ=

nπ•3r

180

，
解得：n=120°，
则展开图中扇形的圆心角为120°，即∠AOA′=120°，
则∠1=60°，
过C作CF⊥OA，
∵C为OB中点，BO=3r，
∴OC=

3

2

r，
∵∠1=60°，
∴∠OCF=30°，
∴FO=

3

4

r，
∴CF²=CO²-OF²=

27

16

r²，
∵AO=3r，FO=

3

4

r，
∴AF=

9

4

，
在Rt△AFC中，利用勾股定理得：
AC²=AF²+FC²=

27

16

r²+

81

16

r²=

27

4

r²，
则AC=

3 3

2

r．
故答案为：

3 3

2

r

点评：考查了平面展开-最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．