Question

如下图，等边三角形ABC内接于⊙O，D为上一点，AC、BD延长线相交于点E，连接AD，作CF∥AD交⊙O于点F，连接BF交AD于点G．

(1)试判断△GBD的形状，并加以证明．

(2)若AB＝，DE＝2，求DG的长．

Answer 1

答案：
解析：

(1)△GBD为等边三角形．　　1′ 　　证明：如下图，∠1＝∠2，∠3＝∠4 　　又∵CF∥AD， 　　∴∠2＝∠3 　　∴∠1＝∠4 　　∴∠GBD＝∠ABC＝60° 　　又∵∠ADB＝∠ACB＝60° 　　△GBD为等边三角形．　　6′ 　　(2)∵△GBD与△ABC为等边三角形． 　　∴∠AGB＝∠BCE＝120° 　　又∵∠1＝∠4 　　∴△ABG∽△EBC 　　∴　　8′ 　　即BE·BG＝AB·BC 　　设BG＝BD＝x，则BE＝x＋2 　　∴(x＋2)x＝·　　10′ 　　解得x1＝3，x2＝－5(不合题意，舍去)， 　　答：DG的长为3．　　14′ 　　注：其它解法参照给分．