Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，DA、DC分别切⊙O于点A，C，且AB=AD．

（1）求tan∠AOD的值．

（2）AC，OD交于点E，连结BE．

①求∠AEB的度数；

②连结BD交⊙O于点H，若BC=1，求CH的长．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）①∠AEB＝135°；②

【解析】

（1）根据切线的性质可得∠BAD=90°，由题意可得AD=2AO，即可求tan∠AOD的值；

（2）①根据切线长定理可得AD=CD，OD平分∠ADC，根据等腰三角形的性质可得DO⊥AC，AE=CE，根据圆周角定理可求∠ACB=90°，即可证∠ABC=∠CAD，根据“AAS”可证△ABC≌△DAE，可得AE=BC=EC，可求∠BEC=45°，即可求∠AEB的度数；

②由BC=1，可求AE=EC=1，BE，根据等腰直角三角形的性质可求∠ABE=∠HBC，可证△ABE∽△HBC，可求CH的长．

（1）∵DA是⊙O切线，∴∠BAD=90°．

∵AB=AD，AB=2AO，∴AD=2AO，∴tan∠AOD2；

（2）①∵DA、DC分别切⊙O于点A，C，∴AD=CD，OD平分∠ADC，∴DO⊥AC，AE=CE．

∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，且∠BAC+∠CAD=90°，∴∠ABC=∠CAD，且AB=AD，∠ACB=∠AED=90°，∴△ABC≌△DAE（AAS），∴CB=AE，∴CE=CB，且∠ACB=90°，∴∠BEC=45°=∠EBC，∴∠AEB=135°．

②如图，∵BC=1，且BC=AE=CE，∴AE=EC=BC=1，∴BE．

∵AD=AB，∠BAD=90°，∴∠ABD=45°，且∠EBC=45°，∴∠ABE=∠HBC，且∠BAC=∠CHB，∴△ABE∽△HBC，∴，即，∴CH．