Question

【题目】如果一个四边形的对角线把四边形分成两个三角形，一个是等边三角形，另一个是该对角线所对的角为60°的三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的理想对角线，这个四边形称为理想四边形．

(1)如图①，在Rt△ABC中∠C=90°，∠B=30°，AC=4，D为AB上一点，AD=2，E为BC中点，连接DE．求证：四边形ADEC为理想四边形；

(2)如图②，△ABC是等边三角形，若BD为理想对角线，四边形ABCD为理想四边形．请画图找出符合条件的C点落在怎样的图形上；

(3)在(2)的条件下，

①若△BCD为直角三角形，BC=3，求AC的长度；

②如图③，若CD=x，BC=y，AC=z，请直接写出x，y，z之间的数量关系．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)①或；②x2+xy+y2=z2 ，理由见解析

【解析】

(1) 连接CD，证明△ACB∽△ADC，推出∠ADC=∠ACB=90°，再证明△CDE是等边三角形即可；

(2)如图②中，作等腰三角形ODB，使得OD=OB，∠DOB=120°，以O为圆心，OD为半径作⊙O，当点C在弧BCD上时，∠DCB=∠DOB=60°，满足条件；

(3)①分两种情形：如图③﹣1中，当∠CDB=90°时，如图③﹣2中，当∠CBD=90°时，分别利用勾股定理求解即可；

②以CD为边作等边△ECD，连接BE，作EF⊥BC交BC的延长线于F．利用全等三角形的性质以及勾股定理可得结论．

(1)证明：如图1中，连接CD，

∵∠ACB=90°，AC=4，∠B=30°，

∴AB=2AC=8，

∵，，

∴，

∵∠A=∠A，

∴△ACB∽△ADC，

∴∠ADC=∠ACB=90°，

∵EC=EB，

∴DE=EC=EB，

∵∠B=30°，

∴BC=2CD，

∴CD=DE=EC，

∴△CDE是等边三角形，

∵∠A=60°，

∴四边形ADEC为理想四边形；

(2)解：如图②中，作等腰三角形ODB，使得OD=OB，∠DOB=120°，以O为圆心，OD为半径作⊙O，当点C在弧BCD上时，∠DCB=∠DOB=60°，满足条件；

(3)解：①如图③﹣1中，当∠CDB=90°时，

∵∠CDB=90°，∠BCD=60°，BC=3，

∴BD=BCsin6°=，∠CBD=30°，

∵△ABD是等边三角形，

∴AB=BD=，∠ABD=60°，

∴∠ABC=90°，

∴，

③﹣2中，当∠CBD=90°时，同法可得AC=，

综上所述，AC的值为或；

②如图④中，结论：x2+xy+y2=z2，

理由：以CD为边作等边△ECD，连接BE，作EF⊥BC交BC的延长线于F，

∵∠EDC=∠ADB=60°，

∴∠EDB=∠CDA，

∵ED=CD，BD=AD，

∴△EDB≌△CDA(SAS)，

∴AC=BE=z，

∵∠ECD=∠DCB=60°，CD=CE=x，

∴∠ECF=60°，∠CEF=30°，

∴CF=EC=x．EF=CF=x，

在Rt△EFB中，∵BE2=EF2+BF2，

∴z2=(x)2+(y+x)2，

整理得：x2+xy+y2=z2．