Question

如图，点P在抛物线y=x²-3x+1上运动，若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切，则符合上述条件的所有的点P共有（　　）

A．2个

B．3个

C．4个

D．5个

Answer 1

分析：若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切，则点P的横纵坐标的绝对值相等，即x=±y，再判定一元二次方程是否有解即可．

解答：解：∵若以P为圆心的圆与x轴、y轴都相切，
∴x=y或x=-y，
当x=y时，即x²-3x+1=x，
∵△=b²-4ac=12＞0，
∴方程有两个不相等的实数解；
当x=-y时，即x²-3x+1=-x，
∵△=b²-4ac=0，
∴方程有两个相等的实数解；
综上可知符合上述条件的所有的点P共有3个，
故选B．

点评：此题主要考查了图象上点的性质以及切线的性质，根据题意得出x=±y，求出x的值是解决问题的关键．