Question

如图，在△ABC中，BC=CA．将△ABC沿着BC方向平移BC的长度，得△CDE．
（1）连接AD，求证：BA⊥DA；
（2）若AB=3，AD=4，求四边形ABCE的面积S．

Answer 1

分析：（1）由平移的性质判定△ABC≌△ECD．然后由全等三角形的对应角相等、对应边相等，以及菱形的判定定理证得平行四边形ACDE是菱形，菱形的对角线互相垂直平分．
（2）利用菱形的性质推知S_△AOE=S_△DOC，S_{四边形ABCE}=S_△ABD．

解答：（1）证明：∵根据平移的性质，知△ABC≌△ECD，
∴AC=ED，∠ACB=∠EDC，∠B=∠ECD，
∴AC∥ED，AB∥CE．
∴四边形ACDE是平行四边形．
又∵BC=AC，CD=BC，
∴AC=CD，
∴平行四边形ACDE是菱形，
∴AD⊥CE．
∴AD⊥AB，即BA⊥DA；

（2）解：由（1）知，△ABD是直角三角形．
∵平行四边形ACDE是菱形，
∴△AOE≌△DOC，
∴S_△AOE=S_△DOC，
∴S_{四边形ABCE}=S_△ABD=

1

2

AB•AD=

1

2

×3×4=6，即四边形ABCE的面积S是6．

点评：本题考查了菱形的判定与性质，平移的性质．解得（2）题时，利用“割补法”来求四边形ABCE的面积S．