Question

如图，已知在平行四边形ABED中，AE是对角线，∠B=∠EAD，延长BE至点C，使EC=BE，并连接DC．
（1）求证：四边形ABCD是等腰梯形；
（2）若AB=AD=4，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABED是平行四边形，
∴AD=BE，AD∥BE，
∴∠EAD=∠AEB，
∵∠B=∠EAD，
∴∠AEB=∠B，
∴AB=AE，
∵EC=BE，AD=BE，
∴AD=EC，
∵AD∥BE，
∴AD∥EC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE=CD，
∵AE=AB，
∴AB=CD，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是等腰梯形；

（2）∵AB=AD=4，AB=EC．AB=DC，
∴DC=4，=AB，BC=8，
过A作AF⊥BC于F，过D作DG⊥BC于G，
则∠AFB=∠AFE=∠DGC=90°，AF∥DG，
∵AD∥BC，
∴四边形AFGD是矩形，
∴AD=GF=4，AF=DG，
∵AB=CD，
∴由勾股定理得：BF=CG=2，
由勾股定理得：AF=

42-22

=2

3

，
∴梯形ABCD的面积是

1

2

×（4+8）×4=24．