Question

如图1，已知⊙O的半径长为1，PQ是⊙O的直径，点M是PQ延长线上一点，以点M为圆心作圆，与⊙O交于A、B两点，连接PA并延长，交⊙M于另外一点C．
（1）若AB恰好是⊙O的直径，设OM=x，AC=y，试在图2中画出符合要求的大致图形，并求y关于x的函数解析式；
（2）连接OA、MA、MC，若OA⊥MA，且△OMA与△PMC相似，求OM的长度和⊙M的半径长；
（3）是否存在⊙M，使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边？若存在，试求OM的长度和⊙M的半径长；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：（1）过点M作MN⊥AC，垂足为N，可得AN=NC=

1

2

y，再根据PM⊥AB，又AB是圆O的直径，可得PN=

2

+

1

2

y，在Rt△PNM中，再利用cos∠NPM=

PN

PM

即可求得y关于x的函数解析式；
（2）设圆M的半径为r，利用勾股定理求出OM，根据△OMA∽△PMC，可得△PMC是直角三角形．然后可得∠CPM、∠PCM都不可能是直角．又利用∠AOM=2∠P≠∠P，可得即若△OMA与△PMC相似，其对应性只能是点O与点C对应、点M与点P对应、点A与点M对应．从而求得OM，然后即可求得⊙M的半径长．
（3）假设存在⊙M，使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边，连接OA、MA、MC、AQ，设公共弦AB与直线OM相交于点G，由正五边形求得∠AMB和∠BAC，再利用AB是公共弦，OM⊥AB，∠AMO=36°，从而求得∠AOM=∠AMO，在求证△MAQ∽△MOA，利用相似三角形对应边成比例即可求得．

解答：解：（1）过点M作MN⊥AC，垂足为N，
∴AN=NC=

1

2

y，
由题意得：PM⊥AB，又AB是圆O的直径，
∴OA=OP=1，
∴∠APO=45°，PA=

2

，
∴PN=

2

+

1

2

y，
在Rt△PNM中，cos∠NPM=

PN

PM

，
又PM=1+x，∠NPM=45°，
∴cos45°=

2 + 1 2 y

1+x

=

2

2

，
∴y关于x的函数解析式为y=

2

x-

2

（x＞1），

（2）设圆M的半径为r，
∵OA⊥MA，
∴∠OAM=90°，OM=

r2+1

又∵△OMA∽△PMC，
∴△PMC是直角三角形．
∵OA=OP，MA=MC，
∴∠CPM、∠PCM都不可能是直角．
∴∠PMC=90°．
又∵∠AOM=2∠P≠∠P，
∴∠AMO=∠P，
即若△OMA与△PMC相似，其对应性只能是点O与点C对应、点M与点P对应、点A与点M对应．
∴

AM

PM

=

AO

MC

，即

r

1+ r2+1

=

1

r

，解得r=

3

，
从而OM=2，
∴OM=2，圆M的半径为

3

．

（3）假设存在⊙M，使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边，
连接OA、MA、MC、AQ，设公共弦AB与直线OM相交于点G
由正五边形知∠AMB=∠AMC=

360°

5

=72°，∠BAC=108°，
∵AB是公共弦，
∴OM⊥AB，∠AMO=36°，
从而∠P=18°，∠AOM=2∠P=36°
∴∠AOM=∠AMO
∴AM=AO=1，即圆M的半径是1，
∵OA=OQ=1，∠AOM=36°
∴∠AQO=72°
∴∠QAM=∠AQO-∠AMO=36°
∴△MAQ∽△MOA，
∴

AM

OM

=

MQ

AM

∵AM=1，MQ=OM-1
∴

1

OM

=

OM-1

1

，解得：OM=

1± 5

2

（负值舍去）
∴OM=

5 +1

2

，
所以，存在⊙M，使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边，
此时的OM=

5 +1

2

，圆M的半径是1．

点评：此题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，两圆相交的性质，正多边形和圆等多个知识点，综合性很强，有利于学生系统的掌握知识，属于难题．