Question

8．如图，在△ABC中，A（1，0），B（5，0），C（2，3），点D是BC上一点，且BD=2DC
（1）求点D的坐标；
（2）求过A，D，B三点的抛物线的关系式．

Answer 1

分析 （1）过C作CE⊥AB于E，过D作DF⊥AB于F，则DF∥CE，根据平行线分线段成比例定理得出$\frac{BF}{BE}$=$\frac{DF}{CE}$=$\frac{BD}{BC}$，即$\frac{BF}{3}$=$\frac{DF}{3}$=$\frac{2}{3}$，求出BF=DF=2，进而得到点D的坐标；
（2）设过A，D，B三点的抛物线的关系式为y=a（x-1）（x-5），将D（3，2）代入，利用待定系数法即可求解．

解答 解：（1）如图，过C作CE⊥AB于E，过D作DF⊥AB于F，则DF∥CE，
∴$\frac{BF}{BE}$=$\frac{DF}{CE}$=$\frac{BD}{BC}$，即$\frac{BF}{3}$=$\frac{DF}{3}$=$\frac{2}{3}$，
∴BF=DF=2，
∴OF=OB-BF=5-2=3，
∴点D的坐标为（3，2）；

（2）设过A，D，B三点的抛物线的关系式为y=a（x-1）（x-5），
将D（3，2）代入，得-6a=2，解得a=-$\frac{1}{3}$，
所以y=-$\frac{1}{3}$（x-1）（x-5），即y=-$\frac{1}{3}$x²+2x-$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．