Question

4．一个矩形对角线的长为10，两对角线所夹锐角为60°，则这个矩形的周长为（　　）

• A． 40
• B． 20
• C． 5+5$\sqrt{3}$
• D． 10+10$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由矩形的性质和已知条件得出△AOB是等边三角形，得出AB=OA=5，由勾股定理求出BC，矩形ABCD的周长=2（AB+BC），即可得出结果．

解答 解：如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠ABC=90°，OA=$\frac{1}{2}$AC，OB=$\frac{1}{2}$BD，AC=BD=10，
∴OA=OB=5，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=5，
∴BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{5}^{2}}$=5$\sqrt{3}$，
∴矩形ABCD的周长=2（AB+BC）=2（5+5$\sqrt{3}$）=10+10$\sqrt{3}$；
故选：D．

点评 本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．