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将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度,并使各边长变为原来的n倍,得△AB′C′,即如图①,我们将这种变换记为[θ,n].

(1)如图①,对△ABC作变换[60°,]得△AB′C′,则SAB′C′:SABC=____;直线BC与直线B′C′所夹的锐角为______度;

(2)如图②,△ABC中,∠BAC=30°,∠ACB=90°,对△ABC 作变换[θ,n]得△AB'C',使点B、C、C′在同一直线上,且四边形ABB'C'为矩形,求θ和n的值;

(3)如图③,△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,BC=l,对△ABC作变换[θ,n]得△AB′C′,使点B、C、B′在同一直线上,且四边形ABB'C'为平行四边形,求θ和n的值.

 

【答案】

(1) 3,60;(2)60°,2;(3)72°,.

【解析】

试题分析:(1)根据题意得:△ABC∽△AB′C′,∴SAB′C′:SABC=,∠B=∠B′,

∵∠ANB=∠B′NM,∴∠BMB′=∠BAB′=60°;(2)由四边形 ABB′C′是矩形,可得∠BAC′=90°,然后由θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC,即可求得θ的度数,又由含30°角的直角三角形的性质,即可求得n的值,(3)由四边形ABB′C′是平行四边形,易求得θ=∠CAC′=∠ACB=72°,又由△ABC∽△B′BA,根据相似三角形的对应边成比例,易得AB2=CB•BB′=CB(BC+CB′),继而求得答案.

试题解析:(1) 3;60.

(2)∵四边形 ABB′C′是矩形,∴∠BAC′=90°.

∴θ=∠CAC′=∠BAC′﹣∠BAC=90°﹣30°=60°.

在 Rt△AB B' 中,∠ABB'=90°,∠BAB′=60°,∴∠AB′B=30°.

∴AB′=2 AB,即.

(3)∵四边形ABB′C′是平行四边形,∴AC′∥BB′.

又∵∠BAC=36°,∴θ=∠CAC′=∠ACB=72°.

∴∠C′AB′=∠BAC=36°.

而∠B=∠B,∴△ABC∽△B′BA. ∴AB:BB′=CB:AB. ∴AB2=CB•BB′=CB(BC+CB′).

而 CB′=AC=AB=B′C′,BC=1,∴AB2=1(1+AB),解得,.

∵AB>0,∴.

考点:1.新定义;2.旋转的性质;3.矩形的性质;4.含300角直角三角形的性质;5.平行四边形的性质;6.相似三角形的判定和性质;7.公式法解一元二次方程.

 

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21、在平面直角坐标系中有△ABC与△A1B1C1,其位置如图所示,
(1)将△ABC绕C点按
(填“顺”或“逆”)时针方向旋转
90
度时与△A1B1C1重合.
(2)若将△ABC向右平移2个单位后,只通过一次旋转变换能与△A1B1C1重合吗?若能,请直接指出旋转中心的坐标、方向及旋转角度;若不能,请说明理由.

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⑴ 画出△ABC关于轴对称的△A1B1C1
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⑶ △A1B1C1与△A2B2C2成轴对称吗?若成轴对称,画出所有的对称轴;
⑷ △A1B1C1与△A2B2C2成中心对称吗?若成中心对称,写出对称中心的坐标。

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⑴ 画出△ABC关于轴对称的△A1B1C1

⑵ 画出将△ABC绕原点O按逆方向旋转所得的△A2B2C2

⑶ △A1B1C1与△A2B2C2成轴对称吗?若成轴对称,画出所有的对称轴;

⑷ △A1B1C1与△A2B2C2成中心对称吗?若成中心对称,写出对称中心的坐标。

 

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  1. A.
    30°
  2. B.
    35°
  3. C.
    40°
  4. D.
    50°

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