Question

6．已知等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，D为平面内 一点，∠ADC=45°，AD=2$\sqrt{2}$，CD=3，求BD的长．

Answer 1

分析 分两种情况：B、D位于AC不同的两侧和B、D位于AC同侧，AE⊥CD得AE=DE=2、CE=1，求得AB=AC=$\sqrt{5}$，作CN⊥AD、BM⊥AD，可得DN=CN=CDsin∠ADC=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$、AN=AD-DN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，证△ABM≌△CAN得BM=AN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$、AM=CN=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，在Rt△BDM中根据勾股定理求解可得答案；B、D位于AC同侧时，同理可得．

解答 解：①如图1，当点B、D位于AC不同的两侧时，

过点A作AE⊥CD于点E，
∵∠ADC=45°，AD=2$\sqrt{2}$，
∴AE=DE=ADcos∠ADC=2，
∵CD=3，
∴CE=1，
则AB=AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
过点C作CN⊥AD于点N，过点B作BM⊥AD，交DA延长线于点M，
在Rt△CDN中，DN=CN=CDsin∠ADC=3×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
则AN=AD-DN=2$\sqrt{2}$-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵∠BMA=∠ANC=∠BAC=90°，
∴∠BAM+∠ABM=∠BAM+∠CAN=90°，
∴∠ABM=∠CAN，
在△ABM和△CAN中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠AMB=∠CNA}\\{∠ABM=∠CAN}\\{AB=CA}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△CAN（AAS），
∴BM=AN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$、AM=CN=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
在Rt△BDM中，BD=$\sqrt{B{M}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+（\frac{3\sqrt{2}}{2}{+2\sqrt{2}）}^{2}}$=5；
②如图2，当点B、D位于AC的同一侧时，

同①可得△ABM≌△CAN，
∴AM=CN=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$、BM=AN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则DM=AD-AM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴BD=1，
故BD的长为1或5．

点评 本题主要考查解直角三角形、全等三角形的判定与性质及勾股定理得综合运用，熟练掌握解直角三角形和全等三角形的判定和性质是解题的关键．