Question

9．如图1，在直角坐标系xoy中，直线l与x、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，$\frac{16}{3}$）两点，∠BAO的角平分线交y轴于点D．点C为直线l上一点，以AC为直径的⊙G经过点D，且与x轴交于另一点E．
（1）求证：y轴是⊙G的切线；
（2）请求⊙G的半径r，并直接写出点C的坐标；
（3）如图2，若点F为⊙G上的一点，连接AF，且满足∠FEA=45°，请求出EF的长？

Answer 1

分析 （1）要证明y轴是⊙G的切线，只需要连接GD后证明GD⊥OB即可．
（2）由（1）可知GD∥OA，则△BDG∽△BOA，设半径为r后，利用对应边的比相等列方程即可求出半径r的值．
（3）由于∠FEA=45°，所以可以连接CE、CF构造直角三角形．由于要求的EF是弦，所以过点A作AH⊥EF，然后利用垂径定理即可求出EF的长度．

解答 解：（1）连接GD，
∵∠OAB的角平分线交y轴于点D，
∴∠GAD=∠DAO，
∵GD=GA，
∴∠GDA=∠GAD，
∴∠GDA=∠DAO，
∴GD∥OA，
∴∠BDG=∠BOA=90°，
∵GD为半径，
∴y轴是⊙G的切线；

（2）∵A（4，0），B（0，$\frac{16}{3}$），
∴OA=4，OB=$\frac{16}{3}$，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得：AB=$\frac{20}{3}$，
设半径GD=r，则BG=$\frac{20}{3}$-r，
∵GD∥OA，
∴△BDG∽△BOA，
∴$\frac{DG}{OA}$=$\frac{BG}{AB}$，
∴$\frac{20}{3}$r=4（$\frac{20}{3}$-r），
∴r=$\frac{5}{2}$；
∴C的坐标为（1，4）；

（3）过点A作AH⊥EF于H，连接CE、CF，
∵AC是直径，
∴AC=2×$\frac{5}{2}$=5
∴∠AEC=∠AFC=90°
∵∠FEA=45°
∴∠FCA=45°
∴在Rt△AEH中，
由勾股定理可知：AF=CF=$\frac{5}{2}\sqrt{2}$，
设OE=a
∴AE=4-a
∵CE∥OB
∴△ACE∽△ABO
∴$\frac{AE}{OA}$=$\frac{CE}{OB}$
∴CE=$\frac{4}{3}（4-a）$
∵CE²+AE²=AC²，
∴$\frac{16}{9}$（4-a）²+（4-a）²=25
∴a=1或a=7（不合题意，舍去）
∴AE=3
∴在Rt△AEH中，
由勾股定理可得，AH=EH=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，
∴在Rt△AEH中，
由勾股定理可知：FH²=AF²-AH²=$（\frac{5}{2}\sqrt{2}）^{2}$-$（\frac{3}{2}\sqrt{2}）^{2}$=8，
∴FH=2$\sqrt{2}$，
∴EF=EH+FH=$\frac{7}{2}\sqrt{2}$．

点评 此题属于圆的综合题，涉及了切线的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来，灵活运用．