Question

如图，△ABC是边长为3的等边三角形，P是AB边上一动点，由A向B运动（与A、B不重合），Q是BC延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由C向BC延长线方向运动（Q不与C重合），过P作PE⊥AC交AC于E，连接PQ交AC于D．
（1）当∠BPQ=90°时，求AP的长；
（2）在点P、Q运动过程中：
①求证：DP=DQ；
②线段ED的长是否发生变化？若不变，求出线段ED的长；若变化，求出变化范围．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：动点型

分析：（1）作PF∥BC交AC于F，由等边三角形的性质就可以得出△APF是等边三角形，△PFD≌△QCD，由直角三角形的性质就可以得出结论；
（2）①作PF∥BC，根据等边三角形的性质就可以得出△PFD≌△QCD，就可以得出PD=QD而得出结论；
②作QF⊥AC，交直线AC的延长线于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=CQ，再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△CQF，再由AE=CF，PE=QF且PE∥QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EC+AE=CE+CF=AC，DE=

1

2

AC，由等边△ABC的边长为3可得出DE=1.5，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．

解答：解：（1）作PF∥BC交AC于F，
∴∠APF=∠B，∠AFP=∠ACB，∠FPD=∠CQD，∠PFD=∠QCD．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，AB=BC=AC．
∴∠APF=∠AFP=∠A=60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=AF=PF．
在△PFD和△QCD中，

∠FPD=∠CQD PF=QC ∠PFD=∠QCD

，
∴△PFD≌△QCD（ASA），
∴FD=CD．
∵∠APD=90°，且∠A=60°，
∴∠PDA=30°，
∴AD=2AP，
∴AD=2AF．
∵AF+FD=2AF，
∴FD=AF．
∴AF=FD=CD．
∴AF=

1

3

AC．
∵AC=3，
∴AF=1，
即AP=1；

（2）①证明：如图，∵PF∥BC，
∴∠APF=∠B，∠AFP=∠ACB，∠FPD=∠CQD，∠PFD=∠QCD．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，AB=BC=AC．
∴∠APF=∠AFP=∠A=60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP=AF=PF．
在△PFD和△QCD中，

∠FPD=∠CQD PF=QC ∠PFD=∠QCD

，
∴△PFD≌△QCD（ASA），
∴PD=QD；

解：②当点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．理由如下：
作QF⊥AC，交直线AC的延长线于点F，连接QE，PF，
又∵PE⊥AB于E，
∴∠DFQ=∠AEP=90°，
∵点P、Q速度相同，
∴AP=CQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠FCQ=60°，
在△APE和△CQF中，
∵∠AEP=∠CFQ=90°，
∴∠APE=∠CQF，
在△APE和△CQF中，

∠AEP=∠CFQ ∠A=∠FCQ AP=CQ

，
∴△APE≌△CQF（AAS），
∴AE=CF，PE=QF且PE∥QF，
∴四边形PEQF是平行四边形，
∴DE=

1

2

EF，
∵EC+AE=CE+CF=AC，
∴DE=

1

2

AC，
又∵等边△ABC的边长为3，
∴DE=1.5，
∴点P、Q同时运动且速度相同时，线段DE的长度不会改变．

点评：本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，直角三角形的性质的应用，能推出两三角形全等是解此题的关键．