Question

如图1，一个无盖的正方体盒子的棱长为30厘米，顶点C₁处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A处有一只昆虫乙（盒壁的厚度忽略不计）
（1）假设昆虫甲在顶点C₁处静止不动，如图1，在盒子的内部我们先取棱BB₁的中点E，再连接AE、EC₁．昆虫乙如果沿路径A→E→C_l爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲．仔细体会其中的道理，并在图①中画出另一条路径，使昆虫乙从顶点A沿这条路径爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲（请简要说明画法）．
（2）如图2，假设昆虫甲从顶点C₁以a厘米/秒的速度在盒子的内部沿C₁C向下爬行，同时昆虫乙从顶点A以2.5厘米/秒的速度在盒内壁沿A→F→G爬行，恰好在最短的时间内捕捉到昆虫甲．若最短时间为20秒，请你求出a的值．

Answer 1

分析：（1）当相邻两个面放在同一平面内时，过AC₁的线段必过公共棱的中点，按此方法，可找棱A₁B₁的中点M，然后连接AM、MC₁；
（2）联系（1）中的方法，画出平面图形，利用勾股定理求得两点间的最短路线，进而求解a的值．

解答：解：（1）取棱A₁B₁的中点M，然后连接AM、MC₁；

（2）平面展开图如下：

由题意得：C₁G=20a，CG=30-20a，DG=DC+CG=30+30-20a=60-20a，AG=2.5厘米/秒×20秒=50cm，
在RT△ADG中，AD²+DG²=AG²，即30²+（60-20a）²=50²，
解得：a=1．

点评：此题考查了最短路径的问题，立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决，注意平面展开图的分析．