Question

3．已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB=4$\sqrt{5}$，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为（　　）

• A． （0，0）
• B． （1，$\frac{1}{2}$）
• C． （$\frac{6}{5}$，$\frac{3}{5}$）
• D． （$\frac{10}{7}$，$\frac{5}{7}$）

Answer 1

分析 如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K．首先说明点P就是所求的点，再求出点B坐标，求出直线OB、DA，列方程组即可解决问题．

解答 解：如图连接AC，AD，分别交OB于G、P，作BK⊥OA于K．

∵四边形OABC是菱形，
∴AC⊥OB，GC=AG，OG=BG=2$\sqrt{5}$，A、C关于直线OB对称，
∴PC+PD=PA+PD=DA，
∴此时PC+PD最短，
在RT△AOG中，AG=$\sqrt{O{A}^{2}-O{G}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-（2\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴AC=2$\sqrt{5}$，
∵OA•BK=$\frac{1}{2}$•AC•OB，
∴BK=4，AK=$\sqrt{A{B}^{2}-B{K}^{2}}$=3，
∴点B坐标（8，4），
∴直线OB解析式为y=$\frac{1}{2}$x，直线AD解析式为y=-$\frac{1}{5}$x+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=-\frac{1}{5}x+1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{10}{7}}\\{y=\frac{5}{7}}\end{array}\right.$，
∴点P坐标（$\frac{10}{7}$，$\frac{5}{7}$）．
故选D．

点评 本题考查菱形的性质、轴对称-最短问题、坐标与图象的性质等知识，解题的关键是正确找到点P位置，构建一次函数，列出方程组求交点坐标，属于中考常考题型．