Question

如图，MN表示襄樊至武汉的一段高速公路设计路线图．在点M测得点N在它的南偏东30°的方向，测得另一点A在它的南偏东60°的方向；取MN上另一点B，在点B测得点A在它的南偏东75°的方向，以点A为圆心，500m为半径的圆形区域为某居民区，已知MB=400m，通过计算回答：如果不改变方向，高速公路是否会穿过居民区？

Answer 1

分析：高速公路是否会穿过居民区即是比较点A到MN的距离与半径的大小，于是作AC⊥MN于点C，求AC的长．解直角三角形ACM和ACB．

解答：解：作AC⊥MN于点C
∵∠AMC=60°-30°=30°，∠ABC=75°-30°=45°（2分）
设AC为xm，则AC=BC=x（3分）
在Rt△ACM中，MC=400+x
∴tan∠AMC=

AC

MC

，即

1

3

=

x

x+400

（4分）
解之，得x=200+200

3

（6分）
∵

3

＞1.5
∴x=200+200

3

＞500．
∴如果不改变方向，高速公路不会穿过居民区．（7分）

点评：怎么理解是否穿过居民区是关键，与最近距离比较便知应作垂线，构造Rt△求解．