Question

2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点M为△ABC外一点，且AM⊥BM，CM平分∠AMB的外角．
（1）求证：CA=CB；
（2）求证：BM-AM=$\sqrt{2}$CM（用两种方法）．

Answer 1

分析 （1）如图1，根据CM平分∠AMB的外角，得∠CMB=45°，由∠AMB=∠ACB=90°，知A、M、C、B四点共圆，则∠CAB=∠CMB=45°，得△ACB是等腰直角三角形，则CA=CB；
（2）解法一：作辅助线，构建四边形HMGC，证明四边形HMGC是正方形，得：HM=CG=CH=MG，再证明△ACH≌△BCG（SAS），则BG=AH，表示BM-AM的差，并用相等的线段代换可得结论；
解法二：如图3，作辅助线，构建全等三角形，证明△ADC≌△BMC，得DC=MC，∠ACD=∠BCM，
从而得△DCM是等腰直角三角形，所以DM=$\sqrt{2}$CM，代入BM-AM=AD-AM可得结论．

解答 证明：（1）如图1，延长AM至D，
∵AM⊥BM，
∴∠BMD=90°，
∵CM平分∠BMD，
∴∠CMB=$\frac{1}{2}$∠BMD=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∵∠AMB=∠ACB=90°，
∴A、M、C、B四点共圆，
∴∠CAB=∠CMB=45°，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴CA=CB；
（2）解法一：如图2，过C作CH⊥AM，交AM的延长线于H，过C作CG⊥BM于G，
∵∠H=∠HMG=∠MGC=90°，
∴四边形HMGC是矩形，
∵∠CMB=45°，
∴△MGC是等腰直角三角形，
∴MG=CG，
∴矩形HMGC是正方形，
∴HM=CG=CH=MG，
∵∠ACH+∠ACG=90°，
∠BCG+∠ACG=90°，
∴∠ACH=∠BCG，
在△ACH和△BCG中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{CH=CG}\\{∠ACH=∠BCG}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACH≌△BCG（SAS），
∴BG=AH，
在Rt△MCH中，∠CMH=45°，
∴CM=$\sqrt{2}$MH，即$\sqrt{2}$CM=2MH，
∵BM-AM=BG+MG-AM=AH+MG-AM=AM+MH+MG-AM=2MH，
∴BM-AM=$\sqrt{2}$CM；
解法二：如图3，延长AM至D，使AD=BM，连接CD，
∵∠AMB=∠ACB=90°，∠APM=∠BPC，
∴∠DAC=∠MBC，
在△ADC和△BMC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=BM}\\{∠DAC=∠MBC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BMC（SAS），
∴DC=MC，∠ACD=∠BCM，
∴∠ACD-∠ACM=∠BCM-∠ACM，
即∠ACB=∠MCD=90°，
∴△DCM是等腰直角三角形，
∴DM=$\sqrt{2}$CM，
∵BM-AM=AD-AM=AM+DM-AM=DM=$\sqrt{2}$CM．

点评 本题考查了三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、四点共圆的性质和判定，本题作辅助线，构建全等三角形是关键，利用三角形全等的性质：对应边相等将线段的差进行转化，并与等腰直角三角形斜边是直角边的$\sqrt{2}$倍相结合，使问题得以解决．