Question

如图，抛物线y=x²-x+c分别交x轴的负半轴和正半轴于点A（x₁，0）、B（x₂，0），交y轴的负轴于点C，且tan∠OAC=2tan∠OBC，动点P从点A出发向终点B运动，同时动点Q从点B出发向终点C运动，P、Q的运动速度均为每秒1个单位长度，且当其中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动的时间是t秒．

（1）试说明OB=2OA；
（2）求抛物线的解析式；
（3）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
（4）当t为何值时，△PBQ是等腰三角形？

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△OAC和Rt△OBC中，分别表示出∠OAC和∠OBC的正切值，根据题目给出的两者的等量关系，即可证得所求的结论；
（2）根据韦达定理，即可求出A、B横坐标的和与积的表达式，联立OB、OA的比例关系，即可求出A、B的坐标及c的值，进而可确定抛物线的解析式；
（3）由于∠PBQ＜90°，因此若△PBQ是直角三角形，应该有两种情况：①∠BPQ=90°；②∠PQB=90°；可分别用t表示出BP、BQ的长，再根据∠OBC的余弦值列方程求出t的值；
（4）可用t分别表示出BP、BQ、PQ的长，然后分BP=BQ、BP=PQ、BQ=PQ三种情况，列方程求出t的值．
解答：解：（1）由条件得：=2×
∴OB=2OA．

（2）由条件与第（1）题的结论得：-2x₁=x₂，
根据抛物线对称轴可得，x₁+x₂=2，
x₁x₂=c，
解得：x₁=-2，x₂=4，c=-3；
抛物线的解析式；y=x²-x-3；

（3）由条件得：BP=6-t，BQ=t，
令y=x²-x-3中y=0，得到3x²-6x-24=0，
解得：x=-2或4，
即OB=4，OA=2，
又∵OC=3，
在直角三角形BOC中，根据勾股定理得：BC=5，
∴cos∠ABC==，
在直角三角形PBQ中，分BQ为斜边或PB为斜边，
可得=或=，
∴t=秒或t=秒；

（4）作QE⊥AB，
∵BP=6-t，BQ=t，PQ==，
t=6-t，
∴t=3秒
或=
∴t=秒；
或=6-t，
∴t=0（舍去），t=．
点评：此题考查了二次函数解析式的确定、解直角三角形、根与系数的关系以及直角三角形、等腰三角形的判定等知识，需注意的是（3）（4）在不确定直角三角形的直角顶点和等腰三角形腰和底的情况下需要分类讨论，以免漏解．