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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在半径为5的⊙O中，点A、B在⊙O中，∠AOB=90°，点C是
    AB
    的一个动点，AC与OB的延长线相交于点D，设AC=x，BD=y．
    （1）当x=2时，求y的值；
    （2）求y关于x的函数解析式；
    （3）如果⊙O1与⊙O相交于点A、C，且⊙O1与⊙O的圆心距为2，当BD=
    1
    3
    OB时，求⊙O1的半径；
    （4）是否存在点C，使得CD2=DB•DO成立，如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由．
    分析：（1）过⊙O的圆心作OE⊥AC，垂足为E．通过证明△ODE∽△AOE求得
    OD
    OE
    =
    AO
    AE
    ，然后将相关线段的长度代入求得y的值；
    （2）过⊙O的圆心作OE⊥AC，垂足为E．通过证明△ODE∽△AOE求得
    OD
    OE
    =
    AO
    AE
    ，然后将相关线段的长度代入求得y关于x的函数解析式，再由函数的性质求其定义域；
    （3）当BD=
    1
    3
    OB时，根据（1）的函数关系式求得y=
    5
    3
    ，x=6．分两种情况来解答O1A的值①当点O1在线段OE上时，O1E=OE-OO1=2；②当点O1在线段EO的延长线上时，O1E=OE+OO1=6，进而求出即可；
    （4）当点C为AB的中点时，∠BOC=∠AOC=
    1
    2
    ∠AOB=45°，∠OCA=∠OCB=
    180°-45°
    2
    =67.5°，然后由三角形的内角和定理求得∠DCB=45°，由等量代换求得∠DCB=∠BOC．根据相似三角形的判定定理AA证明△DCB∽△DOC．
    解答：（1）解：如图1，过⊙O的圆心作OE⊥AC，垂足为E，
    ∴AE=
    1
    2
    AC=1，OE=
    		AO2-AE2
    =2
    		6
    ．
    ∵∠DEO=∠AOB=90°，∴∠D=90°-∠EOD=∠AOE，
    ∴△ODE∽△AOE．
    ∴
    OD
    OE
    =
    AO
    AE
    ，
    ∵OD=y+5，
    ∴
    y+5
    2
    		6
    =
    5
    1
    ，
    解得：y=10
    		6
    -5；

    （2）解：如图1，过⊙O的圆心作OE⊥AC，垂足为E，
    ∴AE=
    1
    2
    AC=
    1
    2
    x，OE=
    		AO2-AE2
    =
    		25-
    1
    4
    x2
    ．
    ∵∠DEO=∠AOB=90°，
    ∴∠D=90°-∠EOD=∠AOE，
    ∴△ODE∽△AOE．
    ∴
    OD
    OE
    =
    AO
    AE
    ，
    ∵OD=y+5，
    ∴
    y+5
    		25-
    1
    4
    x2
    =
    5
    x
    2
    ．
    ∴y关于x的函数解析式为：
    y=
    5
    		100-x2
    -5x
    x
    ，定义域为：0＜x＜5
    		2
    ．

    （3）解：如图2，当BD=
    1
    3
    OB时，
    则y=
    5
    3
    ，
    即
    5
    3
    =
    5
    		100-x2
    -5x
    x
    ，
    ∴解得：x=6．
    ∴AE=
    1
    2
    x=3，OE=
    		52-32
    =4．
    当点O1在线段OE上时，
    O1E=OE-OO1=2，
    O1A=
    		O1E2+AE2
    =
    		22+32
    =
    		13
    ．
    当点O1在线段EO的延长线上时，O1E=OE+OO1=6，
    O1A=
    		O1E2+AE2
    =
    		62+32
    =
    		5
    ．
    ∴⊙O1的半径为
    		13
    或3
    		5
    ．

    （4）存在，当点C为
    AB
    的中点时，△DCB∽△DOC．
    证明：∵当点C为
    AB
    的中点时，∠BOC=∠AOC=
    1
    2
    ∠AOB=45°，
    又∵OA=OC=OB，
    ∴∠OCA=∠OCB=
    180°-45°
    2
    =67.5°，
    ∴∠DCB=180°-∠OCA-∠OCB=45°．
    ∴∠DCB=∠BOC．
    又∵∠D=∠D，
    ∴△DCB∽△DOC．
    ∴存在点C，使得△DCB∽△DOC．
    点评：本题主要考查了圆与圆的位置关系、勾股定理．此题很复杂，解答此题的关键是作出辅助线OE⊥AC，利用相似三角形的判定定理及性质解答，解答（3）时注意分两种情况讨论，不要漏解．
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    ．

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    A、(
    		2
    2
    )    n    R
    B、(
    1
    2
    )    n    R
    C、(
    1
    2
    )    n-1    R
    D、(
    		2
    2
    )    n-1    R

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    精英家教网如图，在半径为2的⊙O中，弦AB的长为2
    		3
    ，则∠AOB=
     
    度．

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    （2013•上海模拟）如图，在半径为1的扇形AOB中，∠AOB=90°，点P是
    AB
    上的一个动点（不与点A、B重合），PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为点C、D，点E、F、G、H分别是线段OD、PD、PC、OC的中点，EF与DG相交于点M，HG与EC相交于点N，联结MN．如果设OC=x，MN=y，那么y关于x的函数解析式及函数定义域为
    y=-
    1
    3
    x2+
    4
    9
    （o＜x＜1）
    y=-
    1
    3
    x2+
    4
    9
    （o＜x＜1）
    ．

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