Question

3．计算：$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$）+（$\frac{1}{4}$+$\frac{2}{4}$+$\frac{3}{4}$）+（$\frac{1}{5}$+$\frac{2}{5}$+$\frac{3}{5}$+$\frac{4}{5}$）+…+（$\frac{1}{100}$+…+$\frac{99}{100}$）．

Answer 1

分析 首先根据算式的特征，设S=$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$）+（$\frac{1}{4}$+$\frac{2}{4}$+$\frac{3}{4}$）+（$\frac{1}{5}$+$\frac{2}{5}$+$\frac{3}{5}$+$\frac{4}{5}$）+…+（$\frac{1}{100}$+…+$\frac{99}{100}$）（1），则S=$\frac{1}{2}$+（$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}$）+（$\frac{3}{4}$+$\frac{2}{4}$+$\frac{1}{4}$）+（$\frac{4}{5}$+$\frac{3}{5}$+$\frac{2}{5}$+$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{99}{100}$+…+$\frac{1}{100}$）（2），然后把两式相加，根据等差数列的求和方法，求出2S的值，即可求出原式的值是多少．

解答 解：设S=$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$）+（$\frac{1}{4}$+$\frac{2}{4}$+$\frac{3}{4}$）+（$\frac{1}{5}$+$\frac{2}{5}$+$\frac{3}{5}$+$\frac{4}{5}$）+…+（$\frac{1}{100}$+…+$\frac{99}{100}$）（1），
则S=$\frac{1}{2}$+（$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}$）+（$\frac{3}{4}$+$\frac{2}{4}$+$\frac{1}{4}$）+（$\frac{4}{5}$+$\frac{3}{5}$+$\frac{2}{5}$+$\frac{1}{5}$）+…+（$\frac{99}{100}$+…+$\frac{1}{100}$）（2），
（1）+（2），可得
2S=（$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$）+[（$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$）+（$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}$）]+[（$\frac{1}{4}$$+\frac{3}{4}$）+（$\frac{2}{4}+\frac{2}{4}$）+（$\frac{3}{4}+\frac{1}{4}$）]+[（$\frac{1}{5}+\frac{4}{5}$）+（$\frac{2}{5}+\frac{3}{5}$）+（$\frac{3}{5}+\frac{2}{5}$）+（$\frac{4}{5}+\frac{1}{5}$）]+…+[（$\frac{1}{100}+\frac{99}{100}$）+…+（$\frac{99}{100}+\frac{1}{100}$）]
=1+2+3+4+…+99
=（1+99）×99÷2
=100×99÷2
=4950
则S=4950÷2=2475，
即$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{3}$+$\frac{2}{3}$）+（$\frac{1}{4}$+$\frac{2}{4}$+$\frac{3}{4}$）+（$\frac{1}{5}$+$\frac{2}{5}$+$\frac{3}{5}$+$\frac{4}{5}$）+…+（$\frac{1}{100}$+…+$\frac{99}{100}$）=2475．

点评 此题主要考查了有理数的加法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确等差数列的求和公式．