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    【题目】中，是的中点，点在上（点不与重合），过点的直线交于，交射线于点，设，．

    （1）如图1，若为等边三角形，点与重合，，求证：；

    （2）如图2，若点与重合，求证：；

    （3）如图3，若，，，直接写出的值．

    【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

    【解析】

    （1）先判断出，再判断出，即可得出结论；

    （2）先判断出，得出，再判断出，即可得出结论；

    （3）先判断出点是的中点，进而得出是的中位线，得出，，进而得出，即可得出结论．

    解：（1）∵为等边三角形，

    ∴，，

    ∵是的中线，

    ∴，

    ∵，

    ∴，

    ∴，

    ∵，

    ∴；

    （2）如图2，过作交于，

    ∴，，

    ∵是的中线，

    ∴，

    ∴，

    ∴，

    ∵，

    ∴，

    ∴，

    ∴，

    ∵，，

    ∴，

    ∴，

    ∴，

    ∴；

    （3）如图3，连接ED，

    ，

    ，

    ，

    ，

    ，

    点是的中点，

    ∵点是的中点，

    ∴，，

    ，

    ，

    ，

    ∴

    ．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，走进大自然，走到阳光，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用，现从各年的随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了统计图A和图B，请根据相关信息，解答下列问题：

    （1）本次随机抽样的学生数是多少？A中值是多少？

    （2）本次调查获取的样本数据的众数和中位数各是多少？

    （3）根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，建议购买35号运动鞋多少双？

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，四边形是的内接四边形，为直径， ，，垂足为.

    （1）求证：平分；

    （2）判断直线与的位置关系，并说明理由；

    （3）若，，求阴影部分的面积。

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】二次函数的图象经过点，，，与轴的负半轴相交，且交点在的上方．下列四个结论中一定正确的是______．

    ①；②；③；④．（填序号即可）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】抛物线：与轴交于点、两点，与轴交于点，且．

    （1）直接写出抛物线的解析式；

    （2）如图1，点在轴左侧的抛物线上，将点先向右平移4个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的对应点恰好落在抛物线上，若，求点的坐标；

    （3）如图2，将抛物线向上平移2个单位长度得到抛物线，一次函数的图象与抛物线只有一个公共点，与轴交于点，探究：轴上是否存在定点满足？若存在，求出点的坐标；否则，说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，在中，，，，以点为圆心，6为半径的圆上有一个动点．连接、、，则的最小值是_________．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，已知反比函数的图象过Rt△ABO斜边OB的中点D，与直角边AB相交于C，连结AD、OC，若△ABO的周长为，AD=2，则△ACO的面积为（ ）

    A. B. 1 C. 2 D. 4

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动．为了解七、八年级学生(七、八年级各有600名学生)的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩(百分制)进行分析，过程如下：

    收集数据：

    七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77．

    八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41．

    整理数据：

    七年级

    0

    1

    0

    a

    7

    1

    八年级

    1

    0

    0

    7

    b

    2

    分析数据：

    平均数

    众数

    中位数

    七年级

    78

    75

    八年级

    78

    80.5

    应用数据：

    (1)由上表填空：a= ，b= ，c= ，d= ．

    (2)估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？

    (3)你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为直径作⊙O，交AB于D，过点O作OE∥AB，交BC于E．

    （1）求证：ED为⊙O的切线；

    （2）如果⊙O的半径为，ED=2，延长EO交⊙O于F，连接DF、AF，求△ADF的面积．

    【答案】（1）证明见解析；（2）

    【解析】试题分析：（1）首先连接OD，由OE∥AB，根据平行线与等腰三角形的性质，易证得≌ 即可得，则可证得为的切线；
    （2）连接CD，根据直径所对的圆周角是直角，即可得 利用勾股定理即可求得的长，又由OE∥AB，证得根据相似三角形的对应边成比例，即可求得的长，然后利用三角函数的知识，求得与的长，然后利用S△ADF=S梯形ABEF-S梯形DBEF求得答案．

    试题解析：(1)证明：连接OD，

    ∵OE∥AB，

    ∴∠COE=∠CAD，∠EOD=∠ODA，

    ∵OA=OD,

    ∴∠OAD=∠ODA，

    ∴∠COE=∠DOE，

    在△COE和△DOE中，

    ∴△COE≌△DOE(SAS)，

    ∴ED⊥OD，

    ∴ED是的切线；

    (2)连接CD，交OE于M，

    在Rt△ODE中，

    ∵OD=32，DE=2，

    ∵OE∥AB，

    ∴△COE∽△CAB，

    ∴AB=5，

    ∵AC是直径，

    ∵EF∥AB，

    ∴S△ADF=S梯形ABEFS梯形DBEF

    ∴△ADF的面积为

    【题型】解答题
    【结束】
    25

    【题目】【题目】已知，抛物线y=ax2+ax+b（a≠0）与直线y=2x+m有一个公共点M（1，0），且a＜b．

    （1）求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标（用a的代数式表示）；

    （2）直线与抛物线的另外一个交点记为N，求△DMN的面积与a的关系式；

    （3）a=﹣1时，直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G，点G、H关于原点对称，现将线段GH沿y轴向上平移t个单位（t＞0），若线段GH与抛物线有两个不同的公共点，试求t的取值范围．

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