Question

如图1，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上，M是线段BE的中点，N是线段AD的中点．
（1）连接BD，AE，求证：△BCD≌△ACE；
（2）猜想图1中的MN与OM的数量关系（直接写出结果）；
（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）（备用图2）后，其他条件不变，（2）中的结论仍然成立吗？若是，画出图形并证明；若不是，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由AB为圆O的直径，得到∠ACB为直角，再由∠ABC=45°，得到△ABC为等腰直角三角形，即AC=BC，利用SAS得出△BCD与△ACE全等即可；
（2）MN=

2

OM，理由为：连接ON，延长BD交AE于F，先证明Rt△BCD≌Rt△ACE，得到BD=AE，∠EBD=∠CAE，则∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，即BD⊥AE，再利用三角形的中位线的性质得到ON=

1

2

BD，OM=

1

2

AE，ON∥BD，AE∥OM，于是有ON=OM，ON⊥OM，即△ONM为等腰直角三角形，即可得到结论；
（3）结论仍然成立，证明的方法和（2）一样．

解答：解：（1）∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=45°，
∴AC=BC，
∵在△BCD和△ACE中，

BC=AC ∠ACB=∠ACE=90° DC=DE

，
∴△BCD≌△ACE（SAS）；

（2）MN=

2

OM，理由为：连接ON，延长BD交AE于F，如图1所示，
∵在△BCD和△ACE中，

BC=AC ∠ACB=∠ACE=90° DC=DE

，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD=AE，∠EBD=∠CAE，
∴∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°，即BF⊥AE，
又∵M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，而O为AB的中点，
∴ON=

1

2

BD，OM=

1

2

AE，ON∥BD，AE∥OM；
∴ON=OM，ON⊥OM，即△ONM为等腰直角三角形，
∴MN=

2

OM；

（3）结论仍然成立，即MN=

2

OM，
画出正确图形，如图2所示，连接BD，AE，ON，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=45°，
∴AC=BC，
∵在△BCD和△ACE中，

BC=AC ∠ACB=∠ACE=90° DC=DE

，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE=BD，∠DBE=∠EAC，
∴∠DBE+∠BEA=90°，
∴BD⊥AE，
∵O，N为中点，
∴ON∥BD，ON=

1

2

BD，
同理OM∥AE，OM=

1

2

AE，
∴OM⊥ON，OM=ON，
∴MN=

2

OM．

点评：本题考查了直径所对的圆周角为直角和三角形中位线的性质，三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及旋转的性质，是一道综合性较强的探究题．