如图1,在第一象限内,直线y=mx与过点B(0,1)且平行于x轴的直线l相交于点A,半径为r的⊙Q与直线y=mx、x轴分别相切于点T、E,且与直线l分别交于不同的M、N两点.
(1)当点A的坐标为(,p)时,
①填空:p=___,m= ___,∠AOE= ___.
②如图2,连接QT、QE,QE交MN于点F,当r=2时,试说明:以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形;
(2)在图1中,连接EQ并延长交⊙Q于点D,试探索:对m、r的不同取值,经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c,a的值会变化吗?若不变,求出a的值;若变化.请说明理由.
解:(1)1,,60°;
(2)连接TM,ME,EN,ON,如图,
∵OE和OP是⊙Q的切线,
∴QE⊥x轴,QT⊥OT,即∠QTA=90°,
而l∥x轴,
∴QE⊥MN,
∴MF=NF,
又∵当r=2,EF=1,
∴QF=2-1=1,
∴四边形QNEM为平行四边形,即QN∥ME,
∴NQ=NE,即△QEN为等边三角形,
∴∠NQE=60°,∠QNF=30°,
在四边形OEQT中,∠QTO=∠QEO=90°,∠TOE=60°,
∴∠TQE=360°-90°-90°-60°=120°,
∴∠TQE+∠NQE=120°+60°=180°,
∴T、Q、N三点共线,即TN为直径,
∴∠TMN=90°,
∴TN∥ME,
∴∠MTN=60°=∠TNE,
∴以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形;
(3)对m、r的不同取值,经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c,a的值不会变化.理由如下:
连DM,ME,如图,
∵DM为直径,
∴∠DME=90°,
而DM垂直平分MN,
∴Rt△MFD∽Rt△EFM,
∴MF2=EF•FD,
设D(h,k),(h>0,k=2r),则过M、D、N三点的抛物线的解析式为:y=a(x-h)2+k,
又∵M、N的纵坐标都为1,
当y=1,a(x-h)2+k=1,解得x1="h-" ,
x2="h+"
,
∴MN="2" ,
∴MF= MN=
,
∴()2=1•(k-1),
∵k>1,
∴=k-1,
∴a=-1.
解析
科目:初中数学 来源: 题型:
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科目:初中数学 来源: 题型:
P点为抛物线(
为常数,
)上任一点,将抛物线绕顶点
逆时针旋转
后得到的新图象与
轴交于
、
两点(点
在点
的上方),点
为点
旋转后的对应点.
1.(1)当,点
横坐标为4时,求
点的坐标;
2.(2)设点,用含
、
的代数式表示
;
3.(3) 如图,点在第一象限内, 点
在
轴的正半轴上,点
为
的中点,
平分
,
,当
时,求
的值.
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科目:初中数学 来源:2013年广东省深圳市中考数学模拟试卷(五)(解析版) 题型:解答题
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科目:初中数学 来源:2012年福建省泉州市中考数学试卷(样卷)(解析版) 题型:解答题
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科目:初中数学 来源:2011-2012学年福建省泉州市九年级升学考试(样卷)数学试卷(解析版) 题型:解答题
如图1,在第一象限内,直线与过点
且平行于
轴的直线
相交于点
,半径为
的⊙
与直线
、
轴分别相切于点
、
,且与直线
分别交于不同的
、
两点.
(1)当点A的坐标为时,
① 填空:= ,
= ,
= ;
②如图2,连结,
交直线
于
,当
时,试说明以
、
、
、
为顶点的四边形是等腰梯形;
(2)在图1中,连结并延长交⊙
于点
,试探索:对不同的
取值,经过
、
、
三点的抛物线
,
的值会变化吗?若不变,求出
的值;若变化,请说明理由.
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