Question

【题目】如图 1，在等腰直角△ABC 中，∠A =90°，AB=AC=3，在边 AB 上取一点 D（点 D 不与点 A，B 重合），在边 AC 上取一点 E，使 AE=AD，连接 DE. 把△ADE 绕点 A 逆时针方向旋转α（0°＜α＜360°），如图 2．

（1）请你在图 2 中，连接 CE 和 BD，判断线段 CE 和 BD 的数量关系，并说明理由；

（2）请你在图 3 中，画出当α =45°时的图形，连接 CE 和 BE，求出此时△CBE 的面积；

（3）若 AD=1，点 M 是 CD 的中点，在△ADE 绕点 A 逆时针方向旋转的过程中，线段AM 的最小值是 ．

Answer 1

【答案】（1）CE＝BD，理由见解析；（2）图形见解析，；（3）1．

【解析】

（1）连接CE和BD，求出∠EAC＝∠DAB，即可利用SAS证明△AEC≌△ADB，进而得到CE＝BD；

（2）连接CE和BE，延长AD交BC于F，首先求出∠BAF＝∠CAF＝∠EAC＝45°，然后可得AF＝BF＝CF，∠EAB＝135°，进而证明AE∥BC，再根据进行计算；

（3）判断出在△ADE绕点A逆时针方向旋转的过程中，点M在以G为圆心，长为半径的圆上，即可得到点M与点E重合时AM取最小值．

解：（1）CE＝BD；

理由：连接CE和BD，如图2所示，

由题意可知，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

∵∠EAD＝∠CAB＝90°，

∴∠EAC＝∠DAB，

又∵AE＝AD，AC＝AB，

∴△AEC≌△ADB(SAS)，

∴CE＝BD；

（2）当α =45°时，连接CE和BE，如图所示，延长AD交BC于F，

∵α =45°，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

∴∠BAF＝∠CAF＝∠EAC＝45°，

∴AF＝BF＝CF，∠EAB＝135°，

∴∠EAB＋∠ABC＝135°+45°＝180°，

∴AE∥BC，

∵BC＝，

∴AF＝，

∴；

（3）如图4，当点M不在AC上时，取AC中点G，连接GM，

∵M是CD′的中点，

∴GM＝，

当点M在AC上时，由M是CD′的中点可得GM＝，

∴在△ADE绕点A逆时针方向旋转的过程中，点M在以G为圆心，长为半径的圆上，

∴当点M与点E重合时AM取最小值，此时AM＝AE＝1．