Question

已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为点E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF、AF相交于点P、M.  
(1)求证：AB= CD；
(2)若∠BAC =2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．  

Answer 1

(1)证明：∵AF平分∠BAC，
∴∠CAD= ∠DAB=∠BAC．
∵点D与点A关于点E对称∴E为AD中点． BC⊥AD，
∴BC为AD的中垂线，
∴AC= CD
∵在Rt△ACE和Rt△ABE中，∠CAD+∠ACE=∠DAB+ ∠ABE =．∠CAD= ∠DAB.
∴∠ACE= ∠ABE，
∴AC =AB，
∴AB= CD.
  (2)∵∠BAC =2∠MPC，
又∵∠BAC =2∠CAD,
∴∠MPC=∠CAD．
∵AC= CD,
∴∠CAD=∠CDA,
∵∠MPC=∠CDA.
∴∠MPF=∠CDM，
∵AC =AB,AE⊥BC,
∴CE= BE，
∴AM为BC的中垂线，
∴CM=BM
∵EM⊥BC,
∴EM平分∠CMB，（等腰三角形三线合一）
∴∠CME=∠BME．
∴∠BME= ∠PMF,∠PMF=∠CME,
∴∠MCD= ∠F(三角形内角和)．