Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx-7的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点D，点C为抛物线的顶点，且A，C两点的横坐标分别为1和4．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求二次函数的函数表达式；
（3）在（2）的抛物线上，是否存在点P，使得∠BAP=45°？若存在，求出点P的坐标及此时△ABP的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据图象，可得A的坐标，再根据二次函数的对称性，可得B点的坐标；
（2）根据（1）的三个点的坐标，将其代入方程，并求解可得解析式；
（3）假设存在并设出其坐标，分P在x轴的上方、下方两种情况讨论，可得答案．

解答：解：（1）因为A，C两点的横坐标分别为1，4，
所以点A（1，0）．（1分）
又点A，B关于对称轴x=4对称，点B（7，0）．（2分）

（2）因为二次函数y=ax²+bx-7的图象经过点A（1，0），B（7，0）．
所以

a+b-7=0 49a+7b-7=0

（4分）
解得：

a=-1 b=8

（6分）．
所以二次函数的表达式为y=-x²+8x-7．（7分）

（3）假设抛物线上存在点P（x，y），使得∠BAP=45°（8分）
①当点P在x轴上方时有x-1=y，
∴x-1=-x²+8x-7，
即x²-7x+6=0．
解得：x=6或x=1（不合题意舍去）
∴y=-6²+8×6-7=5．
∴点P为（6，5）．（9分）
此时，S_△ABP=

1

2

×（7-1）×5=

30

2

=15（10分）．
②当点P在x轴的下方时，有x-1=-y．
∴x-1=x²-8x+7，
解得：x=8或x=1（不合题意舍去）
∴y=-8²+8×8-7=-7．
∴点P为（8，-7）．（11分）
此时，S_△ABP=

1

2

×（7-1）×7=

42

2

=21（12分）．

点评：本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力．