Question

【题目】类比、转化等数学思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.

已知.

（1）观察发现

如图①，若点是和的角平分线的交点，过点作分别交、于、，填空： 与、的数量关系是________________________________________.

（2）猜想论证

如图②，若点是外角和的角平分线的交点，其他条件不变，填： 与、的数量关系是_____________________________________.

（3）类比探究

如图③，若点是和外角的角平分线的交点.其他条件不变，则（1）中的关系成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请写出关系式，再证明.

Answer 1

【答案】（1）;（2）;（3）不成立, ，证明详见解析.

【解析】

（1）根据平行线的性质与角平分线的定义得出∠EDB=∠EBD，∠FCD=∠FDC，从而得出EF与BE、CF的数量关系;

（2）根据平行线的性质与角平分线的定义得出∠EDB=∠EBD，∠FCD=∠FDC，从而得出EF与BE、CF的数量关系;

（3）根据平行线的性质与角平分线的定义得出EF与BE、CF的数量关系．

（1）EF=BE+CF.

∵点D是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，

∴∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB．

∵EF∥BC，

∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB．

∴∠EDB=∠EBD，∠FCD=∠FDC．

∴EB=ED，DF=CF．

∴EF=BE+CF．

故本题答案为：EF=BE+CF．

（2）EF=BE+CF.

∵D点是外角∠CBE和∠BCF的角平分线的交点，

∴∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB．

∵EF∥BC，

∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB．

∴∠EDB=∠EBD，∠FCD=∠FDC．

∴EB=ED，DF=CF．

∴EF=BE+CF．

故本题答案为：EF=BE+CF．

（3）不成立；EF=BECF，证明详见解析．

∵点D是∠ABC和外角∠ACM的角平分线的交点，

∴∠EBD=∠DBC，∠ACD=∠DCM．

∵EF∥BC，

∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCM．

∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD．

∴BE=ED，FD=FC．

∵EF=EDFD，

∴EF=BECF．