Question

2007年4月23日，恩施清江凤凰大桥建成通车．凤凰大桥是八百里清江上一座集公路交通和城市景观于一体的中承式钢筋混凝土拱桥，主桥上的桥拱在空中划出一道优美的弧线，远远望去像是一弯彩虹横卧于清波之上（如图）．大桥上的桥拱是抛物线的一部分，位于桥上方部分的拱高约为18米，跨度约为112米．
（1）请你建立恰当的平面直角坐标系，求出可以近似描述主桥上的桥拱形状的解析式；
（2）求距离桥面中心点28米处垂直支架的长度．

Answer 1

【答案】分析：（1）解决实际问题中的抛物线问题，一般需要建立适当坐标系来解决，本题可以以抛物线对称轴为y轴，水平跨度为x轴，建立坐标系，可设抛物线的解析式为y=ax²+c，根据已知确定顶点M（0，18），及点（56，0），抛物线解析式可求；
（2）实际上是求横坐标为28或者-28时，抛物线上点的纵坐标值．
解答：解：（1）如图，建立平面直角坐标系．
根据题意可知，桥拱顶点M的坐标为（0，18），
桥拱与桥面的交点坐标分别为
（-56，0），（56，0）
设抛物线的解析式为y=ax²+c
把（0，18），（56，0）代入，得
解得：
所以主桥上桥拱形状的解析式为y=-x²+18；

（2）设距离桥面中心点28米处垂直支架的长度等于h米，
那么距离桥面中心点28米处的点的坐标为（-28，h）或（28，h）
把（28，h）代入y=-x²+18中，
得h=13.5
所以在距离桥面中心点28米处的垂直支架的长度为13.5米．
点评：本题考查建立适当坐标系解决抛物线的问题的方法、点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．