【题目】如图1,在平面直角坐标系xoy中,二次函数的图象与x轴的交点为A,B,顶点为C,点D为点C关于x轴的对称点,过点A作直线l:交BD于点E,连接BC的直线交直线l于K点.
(1)问:在四边形ABKD内部是否存在点P,使它到四边形ABKD四边的距离都相等?
若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(2)若M,N分别为直线AD和直线l上的两个动点,连结DN,NM,MK,如图2,求DN+NM+MK和的最小值.
【答案】(1) 四边形ABCD内部存在点P(2,)到四边形ABCD四边的距离相等;(2)8.
【解析】
(1)由抛物线解析式求点A、B、C、D的坐标,求直线BC解析式,把直线BC与直线l的解析式联立方程组,求得的解为点K坐标,因此求得AB=BK=KD=AD=4,即四边形ABKD为菱形.由菱形性质可知对角线平分一组对角,故对角线AK、BD交点E在菱形四个内角的平分线上,所以点E到四边距离相等,即为符合题意的点P.
(2)由菱形性质可知点B、D关于直线AK对称,故有DN=BN,所以当点B、N、M在同一直线上时,DN+MN=BN+MN=BM最小.作点K关于直线AD对称点Q,得MK=MQ,所以当点Q、M、B在同一直线上时,BM+MK=BM+MQ=BQ最小,即BQ的长为DN+NM+MK的最小值.由AK平分∠DAB可求得点K到直线AD距离等于点K的纵坐标,进而求得KQ的长;再由BK∥AD得∠BKQ=∠DRQ=90°,利用勾股定理即求得BQ的长.
(1)在四边形ABKD内部存在点P到四边形ABKD四边的距离都相等.
当y=0时,
解得:x1=-1,x2=3
∴A(-1,0),B(3,0),AB=4
∵
∴顶点C(1,-2)
∵点D为点C关于x轴的对称点
∴D(1,2),
设直线BC解析式为y=bx+c
∴, 解得:
∴直线BC:
∵,解得:
∴K(5,2)
∴,DK∥x轴,DK=5-1=4
∴AB=BK=DK=AD=4
∴四边形ABKD是菱形
∴对角线AK、BD平分一组对角,
∴AK、BD交点E(1,)到菱形四边距离相等
∴点P与点E重合时,即符合题意的点
∴在四边形ABKD内部存在点P(1,)到四边形ABKD四边的距离都相等.
(2)过点K作KF⊥x轴于点F,作点K关于直线AD的对称点Q,KQ与直线AD相交于点R,连接MQ、QB、NB
∵菱形ABKD中,AK与BD互相垂直平分
∴点B、D关于直线AK对称
∴DN=BN
∴当点B、N、M在同一直线上时,DN+NM=BN+NM=BM最小
∵点K、Q关于直线AD对称
∴KQ⊥AD,QR=KR,MK=MQ
∴当点Q、M、B在同一直线上时,BM+MK=BM+MQ=BQ最小
∴BQ的长为DN+NM+MK的最小值
∵AK平分∠DAB,KF⊥AB,KR⊥AD,yK=2
∴KF=KR=2
∴KQ=2KR=4
∵BK∥AD
∴∠BKQ=∠DRQ=90°
∴Rt△BKQ中,BQ=
∴DN+NM+MK和的最小值为8.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A、B的坐标分别为(4,0)、(0,2),点C为线段AB上任意一点(不与点A、B重合).CD⊥OA于点D,点E在DC的延长线上,EF⊥y轴于点F,若点C为DE中点,则四边形ODEF的周长为_____.
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【题目】如图在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,点E、F分别在边AB、AC上,将△AEF沿直线EF折叠,使点A的对应点D恰好落在边BC上.若△BDE是直角三角形,则CF的长为______.
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx﹣3与直线y=x+3交于点A(m,0)和点B(2,n),与y轴交于点C.
(1)求m,n的值及抛物线的解析式;
(2)在图1中,把△AOC平移,始终保持点A的对应点P在抛物线上,点C,O的对应点分别为M,N,连接OP,若点M恰好在直线y=x+3上,求线段OP的长度;
(3)如图2,在抛物线上是否存在点Q(不与点C重合),使△QAB和△ABC的面积相等?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】中华文明,源远流长,中华汉字,寓意深广.为传承中华优秀传统文化,某中学德育处组织了一次全校2000名学生参加的“汉字听写”大赛.为了解本次大赛的成绩,学校德育处随机抽取了其中200名学生的成绩作为样本进行统计,制成如下不完整的统计图表:
成绩x(分)分数段 | 频数(人) | 频率 |
50≤x<60 | 10 | 0.05 |
60≤x<70 | 30 | 0.15 |
70≤x<80 | 40 | 0.2 |
80≤x<90 | m | 0.35 |
90≤x<100 | 50 | n |
频数分布直方图
根据所给的信息,回答下列问题:
(1)m=________;n=________;
(2)补全频数分布直方图;
(3)这200名学生成绩的中位数会落在________分数段;
(4)若成绩在90分以上(包括90分)为“优”等,请你估计该校参加本次比赛的2000名学生中成绩是“优”等的约有多少人?
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【题目】活动1:
在一只不透明的口袋中装有标号为1,2,3的3个小球,这些球除标号外都相同,充分搅匀,甲、乙、丙三位同学按丙→甲→乙的顺序依次从袋中各摸出一个球(不放回),摸到1号球胜出,请你通过画树状图或列表计算甲胜出的概率.(注:丙→甲→乙表示丙第一个摸球,甲第二个摸球,乙最后一个摸球)
活动2:
在一只不透明的口袋中装有标号为1,2,3,4的4个小球,这些球除标号外都相同,充分搅匀,请你对甲、乙、丙三名同学规定一个摸球顺序: → → ,他们按这个顺序从袋中各摸出一个球(不放回),摸到1号球胜出,通过画树状图或列表求每位同学胜出的概率分别是多少.
猜想:
在一只不透明的口袋中装有标号为1,2,3,…,(为正整数)的个小球,这些球除标号外都相同,充分搅匀,甲、乙、丙三名同学按任意顺序从袋中各摸出一个球(不放回),摸到1号球胜出,猜想:直接写出这三名同学每人胜出的概率之间的大小关系.
由此你能得到什么活动经验?(写出一个即可)
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【题目】在矩形ABCD中,BC=10cm、DC=6cm,点E、F分别为边AB、BC上的两个动点,E从点A出发以每秒5cm的速度向B运动,F从点B出发以每秒3cm的速度向C运动,设运动时间为t秒.若∠AFD=∠AED,则t的值_____.
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣(x﹣m)2+4(m>0)的顶点为A,与直线x=相交于点B,点A关于直线x=的对称点为C.
(1)若抛物线y=﹣(x﹣m)2+4(m>0)经过原点,求m的值.
(2)点C的坐标为 .用含m的代数式表示点B到直线AC的距离为 .
(3)将y=﹣(x﹣m)2+4(m>0,且x≥)的函数图象记为图象G,图象G关于直线x=的对称图象记为图象H.图象G与图象H组合成的图象记为图象M.
①当图象M与x轴恰好有三个交点时,求m的值.
②当△ABC为等腰直角三角形时,直接写出图象M所对应的函数值小于0时,自变量x的取值范围.
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【题目】如图,函数的图象经过原点,开口向上,对称轴为直线,对于下列两个结论:①m为任意实数,则有;②方程有两个不相等的实数根,一个根小于0,另一个根大于2,说法正确的是( )
A.①对,②错B.①错,②对C.①②都对D.①②都错
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