Question

【题目】如图，四边形OABC是等腰梯形，OA∥BC，A的坐标（4，0），B的坐标（3，2），点M从O点以每秒3个单位的速度向终点A运动；同时点N从B点出发以每秒1个单位的速度向终点C运动（M到达点A后停止，点N继续运动到C点停止），过点N作NP⊥OA于P点，连接AC交NP于Q，连接MQ，如动点N运动时间为t秒．

（1）求直线AC的解析式；

（2）当t取何值时？△AMQ的面积最大，并求此时△AMQ面积的最大值；

（3）是否存在t的值，使△PQM与△PQA相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+；（2）当t=时，S值最大，且最大值为；（3）当t的值为或或或≤t≤2时，△PQM与△PQA相似

【解析】

（1）分别过C、B作x轴的垂线，设垂足为D、E，根据B、A的坐标可知AE=1，根据等腰梯形的对称性知，OD=AE=1，而B、C的纵坐标相等，由此可确定C点的坐标，即可用待定系数法求出直线AC的解析式；
（2）易知BC=2，可用t表示出CN的长，再根据∠NCQ（即∠CAD）的正切值求出NQ的长，进而可表示出QP的长；同理可用t表示出AM的长，以AM为底，PQ为高即可得到关于△AMQ的面积与t的函数关系式，根据所得函数的性质及自变量的取值范围即可求出△AMQ的最大面积及对应的t的值；
（3）此题要分两种情况考虑：
①当M在点P左侧时，由于∠QPM=∠QPA=90°，若△PQM与△PQA相似则有两种可能：
一、△QPM∽△QPA（此时两三角形全等），二、△QPM∽△APQ；
根据上述两种情况所得的不同比例线段即可求出t的值；
②当M在P点右侧时，方法同①．

解：（1）分别过C、B作CD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E；

则AE=4﹣3=1，BE=CD=2；

由于四边形ABCO是等腰梯形，则OC=AB，∠COD=∠BAE；

∴Rt△COD≌Rt△BAE；

∴OD=AE=1，即C（1，2）；

设直线AC的解析式为：y=kx+b，则有：

，

解得 ；

∴直线AC的解析式为：y=﹣x+；

（2）在Rt△ACD中，AD=3，CD=2；

∴tan∠CAD=；

∵BN=t，OM=3t，

∴CN=2﹣t，AM=4﹣3t；

∴QN=CNtan∠NCQ=CNtan∠CAD=（2﹣t）；

∴PQ=NP﹣NQ=2﹣（2﹣t）=；

设△AMQ的面积为S，则有：

S=（4﹣3t） =﹣t2+t+=﹣（t﹣）2+（0≤t≤2），

∴当t=时，S值最大，且最大值为；

（3）①当M点位于点P左侧时，即0≤t＜时；

QP= ，PM=3﹣4t，AP=t+1；

由于∠QPM=∠QPA=90°，若△PQM与△PQA相似，则有：

（一）、△QPM∽△QPA，由于QP=QP，则△QPM≌△QPA；

∴PM=PA，即3﹣4t=t+1，

解得t=；

（二）、△QPM∽△APQ，则有：QP2=MPAP，即：

（t+1）2=（3﹣4t）（t+1），

解得t=，t=﹣1（舍去）；

②当点M位于点P右侧时，即＜t≤2时；

QP=，PM=4t﹣3，AP=t+1；

若△PQM与△PQA相似，则有：

（一）、△QPM∽△QPA，由于QP=QP，则△QPM≌△QPA；

此时M、A重合，

∴≤t≤2；

（二）、△QPM∽△APQ，则有：QP2=MPAP，

即（t+1）2=（4t﹣3）（t+1），

解得t=，t=﹣1（舍去）；

综上所述，当t的值为或或或≤t≤2时，△PQM与△PQA相似．