Question

若正整数a、b、c满足方程a²+b²=c² ,则称这一组正整数（a、b、c）为“商高数”，下面列举五组“商高数”：（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（12，16，20），注意这五组“商高数”的结构有如下规律：

根据以上规律，回答以下问题：

（1）商高数的三个数中，有几个偶数，几个奇数？

（2）写出各数都大于30的两组商高数。

（3）用两个正整数m、n（m＞n）表示一组商高数，并证明你的结论。

 

Answer 1

【答案】

（1）有一个偶数、两个奇数或三个偶数（2）（40，42，58，），（119，120，169）（3）a = 2mn,  b = m² – n²,   c = m² + n²，证明见解析

【解析】（1）有一个偶数、两个奇数或三个偶数。（3分）

（2）（40，42，58，），（119，120，169）（3分）

（3）a = 2mn,  b = m² – n²,   c = m² + n²

证明：a² +b² = (2 m n)²+ ( m² – n²)²

                = 4m²n² +m⁴ -2m²n²⁴

= m⁴ +2m²n²+n⁴ = (m²+n² )²

∴ a²+b² = c²（4分）

（1）根据奇数和偶数的定义解答；

（2）根据a=2mn，b=m²-n²，c=m²+n²找出符合条件的两组数据；

（3）根据勾股定理证明这一组数据是商高数．